Ejercicios calculo avanzado.

Universidad de Santiago de Chile                                                     Facultad de Ingeniería[pic 1]

Departamento de Ingeniería en Minas    

Trabajo Examen De Cálculo Avanzado

Alumno: Gonzalo Condon V.

Profesor: Guillermo Acuña.

Ejercicio 14, página 7 pdf.

Calcule el valor de la integral de línea utilizando el Teorema de Green

[pic 2]

Como R es una región del plano acotada por una curva simple C, el área de R está dada por:

[pic 3]

Al graficar [pic 4][pic 5] se obtiene:

[pic 6]

Donde [pic 7][pic 8]. Por lo tanto, el gráfico corresponde a una cardioide donde a=1.

Utilizando coordenadas polares se tiene que:

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Al remplazar en A, se tiene que:

[pic 13]

[pic 14]

Eliminando términos y factorizando se obtiene:

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Finalmente, el resultado es:

[pic 19]

Ejercicio 15, página 7 pdf

Calcule el valor de la integral de línea utilizando el Teorema de Green

[pic 20]

Aplicando Teorema de Green se tiene:

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Luego se tiene que:

[pic 24]

Este resultado, se da, ya que al calcular integrales de línea cerradas el valor de la integral es 0 para todo campo vectorial conservativo.

Sin embargo, este resultado no es aplicable a la región, debido a que las funciones M y N no tienen derivadas parciales continuas en el punto (0,0) que está contenido en la región. Cabe mencionar que si el ejercicio se hace con coordenadas polares, lo más probable es que el resultado sería distinto de 0. Lo traté de hacer con coordenadas polares pero me daba una integral que me fue imposible de resolver, pero el análisis está correcto.

Ejercicio

Una mina a tajo abierto tiene la forma aproximada de área de un  trébol de cuatro hojas [pic 25][pic 26]. Determine el área usando el Teorema de Green

Al igual que en el ejercicio 14, como R es una región del plano acotada por una curva simple C, el área de R está dada por:

[pic 27]

[pic 28]

Haciendo el cambio de variables, donde:

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

Reemplazando en la ecuación se tiene:

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Finalmente el resultado de A es:

[pic 39]

...