Álgebra y aritmética

ARITMÉTICA Y ALGEBRA

ARITMÉTICA Y ALGEBRA

El estudio de la lógica matemática abarca dos áreas principales: ´´cálculo de proposiciones´´ y ´´cálculo de funciones proposicionales´´, las que serán tratadas en esta primera unidad.

PROPOSICIONES

Consideramos las siguientes oraciones:

1. ¿Quién viene?
2. Deténgase.
3. El calor dilata los cuerpos.
4. 4 es un número impar.
5. Juan ama la música.
6. La música es amada por juan.

Se trata de seis oraciones diferentes, una interrogativa, una orden y cuatro declarativas. De las dos primeras no podemos decir que sean verdaderas ni falsas, una pregunta puede formularse o no, y una orden puede ser cumplida o no. En cambio, de las cuatro últimas, que son declarativas, tiene sentido decir si son verdaderas o falsas. A estas se las llamamos proposiciones.

DEFINICIÓN

Proposición es toda oración respecto de la cual puede decirse si es verdadera o falsa.

Es decir proposición es toda oración declarativa. Toda proposición está asociada a un valor de verdad, el cual puede ser verdadero (V) o bien falso (F). Las oraciones (e) y (f) son diferentes desde el punto de vista gramatical, el objeto directo de la (e) es el sujeto de la (f), paro ambas tienen el mismo significado, y la consideramos como la misma proposición. Podemos decir entonces: proposiciones es el significado de toda oración declarativa.

CONECTIVOS LÓGICOS

Las proposiciones son denotadas con las letras p, q, r, etc. A partir de proposiciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir, se puede operar con proposiciones, y según tales operaciones se utilizan ciertos símbolos, llamados conectivos lógicos.

OPERACIONES PROPOSICIONALES

 Definiremos las operaciones entre proposiciones  en el sentido siguiente: Dadas una o dos proposiciones cuyos valores de verdad se conocen, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de un valor de verdad. Se supone que en la elección de estos valores se tiene en cuenta ej. Buen sentido.

NEGACIÓN

La negación de una proposición p, es la proposición  (no p), se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra que es su negación.[pic 7]

Si consideramos los dos posibles valore de verdad de una proposición nos resulta que:

• Si p es verdadera,  es falsa. [pic 8]
• Si p es falsa  es verdadera. [pic 9]

Esto puede resumirse en las denominadas tablas de verdad:

CONJUNCIÓN

La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición  (p y q) cuya tabla de valores de verdad es:[pic 11]

Observando la tabla de valores de verdad, podemos concluir que la conjunción sólo es verdadera si lo son las dos proposiciones  componentes, en todo otro caso es falsa.

DISYUNCIÓN

La disyunción de las proposiciones p y q es la proposición  (p o q en sentido incluyente) cuya tabla de valores de verdad es:[pic 13]

La conjunción o es utilizada en sentido incluyente, ya que la verdad  de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones  sea verdadera. Considerando esto, podemos concluir que la disyunción es falsa en el caso de que las dos proposiciones que la componen sean falsas.

IMPLICACIÓN O CONDICIONAL

La implicación de las proposiciones p y q es la proposición  (p implica q; si entonces q) cuya tabla de valores de verdad es:[pic 15]

Las proposiciones p y q se denominan antecedentes y consecuentes de la implicación o condicional, la implicación usual en matemática es formal, ya que no es necesario que el consecuente se derive del antecedente. La tabla de valores nos muestra que la implicación solo es falsa  cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL

La doble implicación de las proposiciones p y q  es la proposición (p si y solo si q) cuya tabla de valores de verdad es:[pic 17]

Observando la tabla de valores de verdad, podemos concluir que la doble implicación o bicondicional, solo es verdadera si ambas proposiciones  tienen el mismo valor de verdad. La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. Que podemos ver en la siguiente tabla de valores de verdad:

CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTES

Si consideramos la proposición impuesta  y recordamos su tabla de valores de verdad:[pic 22]

Veremos que tenemos tres posibles valores verdaderos, pero uno solo de esos valores implica que ambas proposiciones que la componen sean verdaderas. Nos referimos al primer renglón de la tabla de valores de verdad. Cuando ocurre que el antecedente es verdadero y el consecuente también lo es, decimos que el antecedente p es condición suficiente para que ocurra q. Y también podemos decir que la consecuente q es condición necesaria para que ocurra p.  

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