ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO.

ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO

Introducción

El análisis combinatorio estudia las diversas formas de agrupar u ordenar los elementos de un conjunto. Estos elementos son de cualquier naturaleza (personas, animales, objetos o sucesos) y se representan por a1, a2…. an 

Algunos ejemplos ilustran lo anterior:

1. Cuantos comités de 3 personas se pueden obtener de un grupo de 20?
2. De cuantas formas se pueden asignar 5 operarios a 5 maquinas distintas?
3. Cuantos números de 4 cifras diferentes y serie de 2 letras diferentes pueden formarse?

Estos y diversos ejercicios se trataran a continuación

FACTORIAL DE UN NUMERO  n

La expresión n! se le llama  n factorial e indica el producto sucesivo de los números desde n hasta 1, es decir:

n! = n(n-1) (n-2)….. (1)

Ej:      5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-3) (5-4)

              =  5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880

Propiedades:     

          0! =1

          n! = n(n-1)!

         n! = n(n-1) (n-2)

Se estudiaran a continuación los siguientes ítems:

1. Variaciones
2. Permutaciones
3. Combinaciones

1. Variaciones :

Dado el conjunto de n elementos [pic 1]se llaman variaciones de orden r a todos los grupos o subconjuntos de r elementos que se pueden elegir entre ellos, considerando que dos variaciones son diferentes cuando:

i) Tienen al  menos un elemento diferente entre ellas o

ii) Cuando teniendo los mismos elementos difieren en el orden.

Por ejemplo un equipo de baloncesto formado por:

(Juan, Pedro, José, Joe y Erik) será diferente del equipo

(Pedro, Erik, Juan, José y Joe) ?

Un vehículo de (19) millones es lo mismo que un vehículo de (91) millones?

Ejemplo:

Sea el conjunto [pic 2], cuantas variaciones de orden dos se pueden obtener?

Variaciones de orden 2 (r = 2) = (a1a2), (a2a1), (a1a3), (a3a1), (a2a3), (a3a2) = 6

También pueden incorporarse (a1 a1), (a2, a2), (a3,a3)

1.1 Cálculo de las variaciones sin repetición:

Son aquellas en las que los elementos de cada una de ellas son diferentes.

[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8] V(n, r) = n! / (n-r)!                   r [pic 9] n

1.2 Calculo de las variaciones con repetición:

               V` (n, r) = nr 

Ejemplos:

1. Cuantos números de 4 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos del 1 al 9?

Haciendo n = 9 y r= 4 se tiene que:

        V (9,4) = 9! / (9-4)! = 9! / 5! = 3024 números

1. Cuantos números de 4 cifras pueden formarse con dígitos del 1 al 9, si los dígitos que forma cada número pueden repetirse?

n = 9; r = 4 [pic 10] V´ (9,4) = (9)4 = 6561 números

1. El transito departamental dispuso que las placas para los carros deben tener 3 dígitos y 3 letras

1. Cuantas placas posibles pueden hacerse?

1. Si los números pueden repetirse y las letras no?

1. Si los números no pueden repetirse y las letras si?

1. Si los números y las letras no pueden repetirse?

1. Si la placa siempre inicia con la letra B……….R/

1. Si las dos primeras letras son siempre AC y el primer número es el 8….R/

1. Si la letra del centro es siempre H y el número final es siempre el 5…..R/

1. Si solo dos letras pueden repetirse.
   

Solución:

Asumiendo 26 letras de nuestro alfabeto se tiene:

1. Una placa puede ser [pic 11] o también [pic 12]

Así las letras se obtiene a través de VARIACIONES CON REPETICION: V`(26,3) = 263 = 17576

De la misma forma para los números: V´ (10,3) = 103 = 1000 números

Aplicando el principio de multiplicación, puede obtenerse: 17576 x 1000 = 17.576.000

1. Para los números V´(10,3) = 10 3 = 1000

Como las letras no pueden repetirse entonces es una variación sin repetición:

 V (26,3) = 26! / (26-3)! = 15600

Por el principio de multiplicación: 1000 x 15600 = 15.600.000 placas.

1. Dado que los números no pueden repetirse, entonces:

                V (10,3) = 10! / (10-3)! = 101 / 7! = 720

Para las letras V´ (26,3) = 263 = 17576

Por el principio de multiplicación 720 x 17576 = 12.654.720 placas

2. Permutaciones

Una permutación es también una variación donde n = r es decir el numero de elementos del grupo es el mismo conjunto de tamaño n.

 2.1 Permutaciones sin repeticion:  Pn

Si todos los elementos del conjunto de tamaño n a1, a2……an son distintos, entonces el número de permutaciones (u ordenaciones) que se pueden hacer esta dado por:

           V(n,r) = n! / (n-r)! = n! / (n-n)! = n! / 0! = n!

Luego

Pn = n!

Ejercicios.

1. De cuantas formas se pueden sentar 7 personas en 7 sillas
2. De cuantas formas se pueden ordenar 10 libros diferentes en una estantería de una biblioteca?

2.2 Permutaciones cuando no todos los elementos son diferentes

Cuando el conjunto de n elementos esta formado por X1 elementos iguales, X2 elementos iguales,…Xi elementos iguales, se dice que es una permutación con repetición

El numero de permutaciones (u ordenaciones) que pueden hacerse esta dado por:

       P´n = n! / (X1!, X2!,…Xn!)

Ejercicios:

1. De cuantas maneras se puede ordenar las letras de la palabra ESTADISTICAS
2. Se rifa un vehículo y usted elige el Nº 191929 cuantas personas están compitiendo con el mismo número en diferente orden.
3. De cuantas formas puedes ganarte el BALOTO si tu número es:

3. Combinaciones

Dado el conjunto de n elementos, a1, a2…..an, se llaman combinaciones de orden r, a todos los grupos o subconjuntos de r elementos extraídos de los n elementos, donde cada grupo es distinto cuando difieren al menos en un elemento, es decir el orden no importa: (a1a2) = (a2a1) es una sola combinación

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