El teorema y sus aplicaciones.

El teorema y sus aplicacione

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo [pic 1]es recto o, dicho de otro modo, cuando [pic 2], el teorema del coseno se reduce a:

[pic 3]

Que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.

[pic 4]

Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.

El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar:3

• el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:

[pic 5].

• los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:

[pic 6].

Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.

Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'

[pic 7].

Teorema de los senos

[pic 8]

Teorema del seno.

En trigonometría, el teorema de los senos1 o también conocido como ley de los senos 2 es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus respectivos ángulos opuestos.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

[pic 10]

Demostración

A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida.

[pic 11]

El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PCB es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

[pic 12]

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

[pic 13]

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

...