Matematicas

Actividad 4: Lectura Capítulo 1

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son de la forma ax + b = c, siendo a, b y c las constantes y x la variable. El valor de a puede ser entero, racional o real, pero nunca cero. Ejemplos de este tipo de ecuaciones: 3x - 5 = 0 que corresponde a una ecuación de coeficiente entero y expresión entera.

, ecuación de coeficiente racional y expresión entera.

, ecuación de coeficiente entero y expresión racional.

Las ecuaciones de primer grado se caracterizan porque a incógnita (variable) tiene como exponente la unidad; por lo cual, la solución es única, esto quiere decir que éste tipo de ecuaciones tienen "Una Sola solución".

Resolución: Las ecuaciones de primer grado con una incógnita, se pueden resolver por diversos métodos, se analizarán algunos, siendo el método axiomático el más recomendado.

METODO EGIPCIO: Conocido también como la Regula Falsa. En algunos libros egipcios y chinos, se ha encontrado un método para resolver ecuaciones llamado Regula Falsa o Falsa Posición. El método consiste que a partir de la ecuación dada, se propone una solución tentativa inicial, la cual se va ajustando hasta obtener la solución más aproximada.

El principio es que dada la ecuación, ax = b suponemos una solución tentativa xo, reemplazando en la ecuación así: axo = b, como no se cumple esta solución, se hace un ajuste de la siguiente manera: la cual es una solución de la ecuación original, ya que: Siendo bo el valor obtenido para x0

METODO AXIOMATICO: Es el método más utilizado en la actualizad, el cual utiliza las propiedades algebraicas y las leyes de uniformidad, todo esto derivado de los axiomas de cuerpo. Aclaremos que los axiomas epistemológicamente son "Verdades Evidentes" y a partir de éstas, se desarrolla todo el conocimiento. Algunos axiomas que son importantes para comprender la solución de ecuaciones.

Axiomas de Cuerpo: Sean x, y, z, valores definidos, dentro del conjunto de los Reales

Primer Axioma: x + y = y + x (Propiedad conmutativa)

Segundo Axioma: x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z) (Propiedad Asociativa)

Tercer Axioma: x (y + z) = x*y + x*z (Propiedad Distributiva)

Cuarto Axioma: x + 0 = x y x*1 = x (Propiedad Modulativa de la suma y producto)

Quinto Axioma: x + y = 0, y + x = 0 (Propiedad del inverso. Todo número real tiene un Inverso, excepto el cero). Para x, su inverso es puede escribir -x, igual para y.

Sexto Axioma: x*y = 1, y*x = 1 Para x ≠ 0. (Propiedad del recíproco, todo número real tiene un recíproco). Para x, su recíproco se puede escribir x-1 = 1/x, igual para y.

NOTA: El símbolo * indica multiplicación.

Con los argumentos anteriores, se puede comenzar el análisis del desarrollo de ecuaciones. Toda ecuación de primer grado con una incógnita se puede escribir de la forma, ax + b = c donde a, b, y c son constantes y además a ≠ 0.

Ecuaciones de primer grado con dos y tres incognitas

Ecuaciones de primer grado con dos incognitas

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son una herramienta muy importante para resolver problemas que se presentan en todas las áreas del saber.En este apartado se analizarán dos casos. El primero es donde se tiene una ecuación con dos incógnitas y el segundo es cuando se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas.

PRIMER CASO: Una Ecuación Con Dos Incógnitas:

ECUACIONES DIOFÁNTICAS: Diofanto de Alejandría, del siglo III de nuestra era, desarrolló unas ecuaciones que trabajan sobre el conjunto de los enteros y son de primer grado con dos incógnitas. En honor a su nombre se les conoce como Ecuaciones Diofánticas.

La forma general de estas ecuaciones es ax + by = c, donde a, b, c son constantes y pertenecen al conjunto de los enteros; además, a ≠ 0 ó b ≠ 0. Cuando a, b y c son enteros positivos, la ecuación tiene solución entera si y, solo si, el máximo común divisor de a y b, divide a c. Este tipo de ecuaciones puede tener soluciones infinitas o no puede tener solución. Entonces la solución consiste en hallar ecuaciones generadoras (paramétrica) del par (x, y) que satisfagan la ecuación propuesta.

Solución General de Ecuaciones diofánticas:

Para resolver este tipo de ecuaciones, vamos a analizar dos procedimientos.

1. Método paramétrico: El principio es buscar ecuaciones para x al igual que para y, por medio de un parámetro, que generalmente se designa con t, así se obtiene dos ecuaciones,

x = a + bt

y = c + dt

Llamadas solución general, ésta se denomina así porque satisface para cualquier par (x, y). A partir de esta se pueden obtener soluciones particulares; es decir, para un valor t = k

El procedimiento para obtener la solución general no es tarea fácil, la intención es que se pueda a partir de la solución general, obtener soluciones particulares. Los curiosos pueden investigar en libros de Matemáticas Discretas ó en fuentes donde se trabaje las ecuaciones diofánticas.

2. Método Despeje: El método consiste en hallar la solución general, despejando una de las incógnitas y dejando la otra como parámetro; es decir, si despejamos x; y sería el parámetro y si despejamos y, entonces x sería el parámetro.

Para la ecuación: ax + by = c. Se pueden obtener dos ecuaciones particulares.

...