Trigonometria Seno Coseno Tangente

MATEMÁTICAS TIMONMATE

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA Juan Jesús Pascual

TRIGONOMETRÍA

A. Introducción teórica

A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo.

A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes). A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica.

A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas.

A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno.

B. Ejercicios resueltos

B.1. Razones trigonométricas. B.2. Ecuaciones trigonométricas. B.3. Problemas.

A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:

Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones:

La función seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo.

Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α y β del triángulo rectángulo aquí representado:

a) Para el ángulo α:

función seno función coseno función tangente

sen a cos b tg a

c c b

función cosecante función secante función cotangente

1 c 1 c 1 b

cosec   sec  cotg 

tg a

sen a cos b

1/22

Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE

b) Para el ángulo β:

función seno función coseno función tangente

sen b cos a tg b

c c a

función cosecante función secante función cotangente

cosec 1  c sec 1  c cotg 1  a

sen b cos a tg b

A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes)

ángulo sen cos tg ángulo sen cos tg

0º 0 rad 0 1 0 60º  rad 3 1

3

3 2 2

 rad 1 1  rad

30º 3 90 1 0 

3

6 2 2 2

 rad

45º 2 2 1 180º  rad 0 –1 0

4 2 2

A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica

Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la unidad. Para una circunferencia goniométrica es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo.

2/22

TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos

A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas

a) Relaciones fundamentales:

El seno, el coseno y la tangente de un ángulo están relacionados mediante la siguiente igualdad:

senθ = tg θ cosθ

Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente vinculada al teorema de Pitágoras:

sen2 θ+ cos2 θ= 1

b) Relaciones del ángulo suma–diferencia: sen    sen cos sen cos

cos   cos cos ∓sen sen

tg     tg tg 1 ∓ tg tg

c) Relaciones del ángulo doble

Es un caso particular del anterior en el que α y β son iguales.

sen 2   2sen cos

cos2   cos2  sen2

    2tg tg 2

1  tg2

d) Relaciones del ángulo mitad

sen2   1  cos

2 2

cos2   1  cos

2 2

3/22

Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE

tg2   1  cos

2 1  cos

A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno

Sea el siguiente triángulo. ¡No hace falta que sea rectángulo! Se verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno y teorema del coseno.

A

c b

B C

a

a) Teorema del seno: a  b  c

senC

senA senB

b) Teorema del coseno: a2  b2  c2  2bccosA

B. EJERCICIOS RESUELTOS

B.1. Cálculo de razones trigonométricas

1. Sabiendo que senα= 0,86 calcula las demás razones trigonométricas directas e inversas

Solución:

Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan:

• senα= 0,86

4/22

TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos

• El coseno se deduce a partir de la ecuación fundamental

sen2  cos2  1 :

sen2 θ+ cos2 θ= 1 ⇒ cos2 θ= 1 − sen2 θ ⇒ cosθ= 1− sen2θ

Sustituyendo datos:

⇒ cosθ= 1

cosθ= 1− sen2 θ ⇒ cosθ= 1− 0,862

2

• La tangente buscada se deduce de la fórmula fundamental

senθ = tg θ. Sólo hay que sustituir en ella los valores conocidos: cosθ

senθ = tg θ ⇒ tg θ= 0,86 ⇒ tg θ= 1,72

cosθ

0,5

• La cosecante es la inversa del seno.

cosecα= sen−1α= 1 = 1,26 0,86

• La secante es la inversa del coseno.

secα= cos−1 α= 11 = 2 2

• La cotangente es la inversa de la tangente.

cotgα= tg−1α= 1 = 0,58 1,72

2. Calcula las relaciones trigonométricas directas de α y β

Solución:

Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente.

Para el ángulo  :

sen 40 ⇒ sen 0,8 , 50

cos 30 ⇒ cos 0,6 50

tg 40 ⇒ tg 1,33 30

Observa que se cumple que sen2  cos2  1

5/22

Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE

Para el ángulo  :

sen 30 ⇒ sen 0,6 50

cos 40 ⇒ cos 0,8 50

tg 30 ⇒ tg 0,75 40

Observa que también se cumple que sen2  cos2  1 , como no podía ser de otra manera.

3. Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

135º Solución:

El ángulo 135º está en el 2º cuadrante. Será equivalente a un ángulo de 45º para el que sen45 es positivo y cos45 es negativo, tal como se indica en la figura.

sen 45 135º

45º

- cos 45

- 560º Solución:

Como el ángulo es mayor que 360º lo tratamos del siguiente modo:

560 360

⇒ 1 vuelta ⋅ 360º + 200º

200 1

El ángulo que tenemos que manejar es -200º. Ello es equivalente a un ángulo de 20º en el segundo cuadrante, en donde sen20 es positivo y cos20 es negativo

6/22

TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos

sen 20 20º - cos 45

-200º

4. Sabiendo que cosα= 3 y que α está en el 4º cuadrante, halla las

2

...