Apuntes de logica Tablas de Verdad

Tablas de Verdad

• Son esquemas que muestran todas las posibles combinaciones de los valores de cada una de las proposiciones.
• Pasos a seguir :

1. Anotar las posibles combinaciones de los valores de verdad, si se trata de proposiciones compuestas, se anotan los valores de las proposiciones simples que sirvieron para formar la proposición compuesta.
2. Anotar el valor de verdad de las proposiciones componentes. Cuando existan dos proposiciones, se comienza por la última columna anotando una V, y luego una F, y continuar así, con ese orden, hasta completar la columna.
3. Se llenan los valores de verdad de la siguiente columna iniciando por V sólo que ahora se realizan de dos en dos, y así sucesivamente.
4. Analizar el sentido de la proposición compuesta, para determinar cuál es su conectiva principal.
5. Se utilizan paréntesis para indicar que una proposición compuesta se toma como un todo.
6. Anotar el valor de verdad de la conectiva principal.

Tautologías

• Es una preposición compuesta que es verdadera en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones simples componentes.
• No se da falsedad bajo ninguna circunstancia.

Contradicciones

• Son proposiciones compuestas que son falsas en todos los casos, cualquiera que sea el valor de sus proposiciones simples.

Contingencias

Son proposiciones compuestas que son verdaderas en algunos casos y falsas en otros, dependiendo del valor de verdad de sus proposiciones simples componentes.

Argumentos en la lógica proposicional.

• Argumento : Es una secuencia o serie de proposiciones en la que una de ellas, llamada conclusión, se obtiene o desprende de las anteriores llamadas premisas.
• En la estructura de un argumento se utiliza el símbolo Ⱶ para representar la palabra “luego” o “por consiguiente”.
• Aunque los argumentos están compuestos por proposiciones no son verdaderos o falsos, sino válidos o no válidos.
• Un argumento no es válido si siendo verdaderas las premisas, es falsa la conclusión. En todos los demás casos el argumento es válido, o sea:

• Cuando las premisas son verdaderas y la conclusión es verdadera.
• Cuando las premisas son falsas y la conclusión es verdadera.
• Cuando las premisas son falsas y la conclusión es falsa.

• Todo argumento puede representarse mediante una proposición condicional, cuyo antecedente son las premisas y cuyo consecuente es la conclusión:
• P→C
• En general, todo argumento es válido si al ser transformado en una proposición condicional, ésta resulta ser una tautología.
• Si resultara que hay un caso en que las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa. La proposición no es tautológica y el argumento respectivo no es válido.

Leyes de implicación

Modus ponendo ponems (m.p.p.)

1.-  [pic 1][pic 2]

2.- [pic 3]

[pic 4]

3.- [pic 5]

Si un argumento cualquiera tiene esta forma, es un argumento válido, pues puede transformarse en una implicación.

Ejemplo:

1. Si Venus es un planeta, entonces Venus brilla con la luz refleja.
2. Venus es un planeta

        Luego…

1. Venus brilla con luz refleja.

La ley de modus ponendo ponens nos permite obtener, como conclusión, el consecuente de la proposición condicional.

Modus tollendo tollens (m.t.t.)

1. [pic 6]
2. [pic 7]

[pic 8]

1. [pic 9]

Un argumento con esta forma es válido, pues se puede transformar en una implicación.

Ejemplo :

1. Si la riqueza hace felices a los hombres, entonces la riqueza hace buenos a los hombres.
2. No es cierto que la riqueza hace buenos a los hombres.

Luego

3.  No es cierto que la riqueza hace felices a los hombres.

La ley modus tollendo tollens nos permite obtener, como conclusión, la negación del antecedente de la proposición condicional.

Modus tollendo ponens ( m.t.p.)[pic 10]

Si un argumento cualquiera se encuentra como premisas:

1. Una proposición disyuntiva , y[pic 11]
2. La negación de una de sus alternativas  [pic 12]

La ley modus tollendo ponens nos permite obtener, como conclusión, la otra alternativa.

Ejemplo :

1. El agua es un elemento o el agua es un compuesto.
2. No es cierto que el agua es un elemento.

Luego…

1. El agua es un compuesto.

Ley de silogismo hipotético

1. [pic 13]
2. [pic 14]

[pic 15]

1. [pic 16]

La ley del silogismo hipotético hace posible extraer como conclusión otra proposición condicional cuyo antecedente sea el de la primera premisa y cuyo consecuente sea el mismo que el de la segunda premisa.

Ejemplo :

1. Si es un hombre es libre, entonces es responsable de su conducta.
2. Si un hombre es responsable de su conducta, entonces evita realizar acciones negativas.

Luego…

1. Si un hombre es libre, entonces evita realizar acciones negativas.

Ley de la simplificación[pic 17]

Si en un argumento cualquiera tenemos como premisa una proposición cuya conectiva es una conjunción podemos anotar como conclusión, una de las dos proposiciones conjuntadas.

Ejemplo:

[pic 18]

Ley de la conjunción

1. [pic 19]
2. [pic 20]

[pic 21]

1. [pic 22]

Establecidas dos proposiciones cualesquiera, aplicando la ley de conjunción puede formularse, como conclusión, una proposición que sea justamente la conjunción de las premisas.

1. El Sol es una estrella.
2. El Sol es el centro del sistema planetario.

[pic 23]

1. El Sol es una estrella y el Sol es el centro del sistema planetario.

Ley de adición

1. [pic 24]
2. q

[pic 25]

3. [pic 26]

Dada una proposición cualquiera que se establece como premisa, la ley de adición permite obtener, como conclusión, una proposición disyuntiva en la que una de las alternativas es la premisa, en tanto que la otra disyuntiva puede ser cualquier otra proposición.

Ejemplo :

1. Sirio es una estrella.
2. Sirio es una constelaciió.

[pic 27]

3. Sirio es una estrella o Sirio es una constelación.

Leyes de Equivalencia

• Una proposición  compuesta es una equivalencia cuando es tautológica y su conectiva principal es una bicondicional; por ejemplo, la preposición :

[pic 28]

es una equivalencia, pues su conectiva principal es una bicondicional y es tautológica.

La equivalencia se simboliza mediante el signo ≡, el cual se coloca entre las proposiciones que son equivalentes entre sí.

[pic 29]

Leyes de Equivalencia

• Leyes de conmutatividad

1. (p ˅ q) ≡ (q ˅ p)
2. (p ˄ q)  ≡ (q ˄ p)

• Leyes de asociación

1. [(p ˅ q) ˅ r] ≡ [p ˅ (q ˅ r)]
2. [(p ˄ q) ˄ r] ≡ [p ˄ (q ˄ r)]

• Leyes de distributividad

1. [p ˄ (q ˅ r)] ≡ [(p ˄ q) ˅ (p ˄ r)]
2. [p ˅ (q ˄ r)] ≡ [(p ˅  q) ˄ (p ˅ r)]

• Leyes de Morgan

1. [ ∼ (p ˄ q)] ≡ [ ∼ p ˅ ∼ q]
2. [ ∼ (p ˅ q)] ≡ [ ∼ p ˄ ∼ q]

• Ley de exportación

1. [(p ˄ q)  → r] ≡ [ p → (q → r)]

• Ley de contraposición

1.  [(p → q)] ≡ [( ∼ q → ∼ p)]

Lógica Cuantificacional

Partes de una proposición

• TÉRMINO SUJETO. Son la palabra o palabras que indican un objeto, persona, o conjunto de ellos que poseen alguna propiedad o característica.

• La ballena es un mamífero.
• Todos los niños son ingenuos.
• Algunos planetas tienen satélites.

• TÉRMINO PREDICADO. La propiedad o característica que se afirma del sujeto en una proposición.

• El ornitorrinco es un mamífero.
• Diego Rivera fue un muralista mexicano.
• La ballena es un animal marino.

Proposiciones singulares, particulares y universales

• Singular. Una preposición es singular cuando el predicado se afirma de un objeto individual, un país, una persona, un objeto, etc.
• Particular. Una preposición es particular cuando se afirma que el predicado se aplica a parte de los objetos que componen un subconjunto.

Universal. Una preposición es universal cuando el predicado se dice de todos los objetos de un conjunto

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