Esfera

La intersección de un plano y una esfera siempre es una circunferencia. La esfera es el único cuerpo que tiene esta propiedad. Lógicamente, si el plano es tangente, el área de contacto queda reducido a un punto (puede considerarse el caso límite de la intersección).

Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador o círculo máximo.

Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio r de la esfera, aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:

r' = \sqrt{r^2 - d^2}

Intersección de esferas.

Por otra parte, dos esferas se intersecan si:

d \le r + r'

y

r - r' \le d

(son las desigualdades triangulares, y equivalen a que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir, si existe un triángulo con lados que midan r, r' y d, donde d es la distancia entre los centros de las esferas, r y r' sus radios.

En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un punto, que equivale a una circunferencia de radio cero.

En general, el radio es:

\frac 2 d \sqrt{m(m-r)(m-r')(m-d)} \quad \mbox{ con } \quad m = \frac {r+r'+d} 2 el medio perímetro.

Planos en el un punto de superficie esférica[editar]

Plano tangente[editar]

El plano que toca a la esfera en un solo punto es llamado plano tangente. Cada punto de la esfera tiene asociado un plano tangente. Para la esfera los puntos antipodales tiene planos tangente paralelos.

Es el plano cuya distancia al centro de la esfera es igual a la longitud del radio. O bien la posición límite de los planos secantes de la esfera cuando su distancia al centro tiende a la longitud del radio. Dicho plano es único y siempre existe, dado un punto P=(x_0,y_0,z_0) de una esfera de radio de radio R el plano tangente viene dao por:

x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)+z_0(z-0) = 0\,

Plano normal[editar]

Sin información.

Plano binormal[editar]

Es el plano perpendicular tanto al plano tangente como al plano normal.

Coordenadas sobre la esfera[editar]

Para localizar un punto de la superficie esférica, las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, por varias razones: en primer lugar, porque hay tres coordenadas cartesianas, mientras que la superficie esférica es un espacio bidimensional. En segundo lugar, tratándose de una esfera, el ángulo es un concepto más adecuado que las coordenadas ortogonales.

Coordenadas esféricas.

Los dos orígenes ortogonales de las coordenadas esféricas

Se elige un ecuador y un punto del mismo como origen de los ángulos horizontales; se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo φ; se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador –llamados polos– para definir el signo del ángulo θ

Determinación de los puntos mediante ángulos

Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Con el valor de un ángulo sobre el plano horizontal (plano del ecuador) y otro vertical (desde un polo), se puede localizar cualquier punto de la esfera.

En geometría, normalmente, se expresan estos ángulos en radianes (pues permite calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que en geografía se usan los grados sexagesimales o centesimales: en este caso, θ es la latitud del punto y φ su longitud si se toma un origen en el punto del ecuador del meridiano de Greenwich y el otro origen en el polo norte. Las latitudes

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