Matematicas

INTRODUCCIÓN

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.

La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)= (-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.

El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.

Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente.

El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división.

Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos.

La igualdad N, donde N es un número real y, es una expresión potencial; da lugar a dos problemas fundamentales:

Dada la base a y el exponente x, encontrar N.

Dados N y a, encontrar x.

El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos, aplicando las leyes de los exponentes.

Funciones creciente y decreciente

Una función es creciente cuando su derivada es positiva; es decreciente cuando su derivada es negativa.

Una función Y= f(x) se llama función creciente si Y aumenta (algebraicamente) cuando X aumenta. Una función Y= f(x) se llama función decreciente si Y disminuye (algebraicamente) cuando X aumenta. La grafica de una función indica claramente si es creciente o decreciente.

Una función definida en un intervalo es creciente en ese intervalo si y solo si f(X1) < f(X2) siempre que X1 < X2. Una función definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo si y solo si f(X1) > f(X2) siempre que X1 >X2. Donde X1 y X2 son dos números cualquiera del intervalo.

Es termino de función monótona se aplica cuando una función es creciente (o decreciente), en todo su dominio. Es útil conocer los intervalos donde la función es creciente y/o decreciente.

Antes de establecer un teorema que proporciona un criterio para determinar si una función es monótona en un intervalo.

Cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función es creciente y cuando la pendiente es negativa, la función es decreciente. Puesto que f´(X) ,es la pendiente de la recta tangente a la curva Y= f(X), f es la creciente cuando f´(X) >0, y es decreciente cuando f´(X)<0. También como f´(x) es la tasa de variación (o razón de cambio) de los valores de la función f(X) con respecto a X, cuando f´(X)> 0 , los valores de función aumentan conforme X aumenta; y cuando f´(X)<0, los valores de función disminuyen cuando X aumenta .

intervalo Signo F creciente o decreciente

x-3 X+2 f´(x)

(- ,-2) - - + Creciente

(-2,3) - + - Decreciente

(3, ) + + + Creciente

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con

x1 < x2 Se tiene que f(x1) < f(x2).

Prevalece la relación <

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con

x1 < x2 Se tiene que f(x1) > f(x2).

Cambia la relación de < a >

Una función f se dice que es constante si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con

x1 < x2 Se tiene que f(x1) = f(x2).

Las y no cambian, son fijas

Considera la siguiente gráfica:

Los intervalos donde la gráfica es creciente son

[ 2.8, 3.6 ]

[ 5.2, 6 ]

El intervalo donde la gráfica es decreciente es

[ 3.6, 5.2 ]

El intervalo donde la gráfica es constante es

[ - 4, 2.8 ]

Un punto de viraje es aquel donde ocurre un cambio en la gráfica:

Cambia de creciente a decreciente o cambia de decreciente a creciente.

Un punto de discontinuidad es un punto donde se produce un brinco en la gráfica.

Ejemplo

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función



Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x2 en los puntos

Resolución:

• La función y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3 < x4 Þ x32 > x42 (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2 ). Es estrictamente decreciente en x = 0.

• Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

Graficas Funciones Creciente y Decreciente

CURVA DE GOMPERTZ

Una curva de Gompertz, el nombre de Benjamin Gompertz, es una función sigmoide. Se trata de un tipo de modelo matemático para una serie de tiempo, donde el crecimiento es más lenta en el inicio y el final de un período de tiempo. La mano derecha o valor futuro asíntota de la función se aborda mucho más gradualmente por la curva de la izquierda o la asíntota inferior valorado, en contraste con la función logística simple en la que ambas asíntotas son abordados por la curva simétricamente. Se trata de un caso especial de la función logística generalizada.

FORMULA

- a es la asíntota superior de:

-b, c son números negativos,

-b establece el desplazamiento a lo largo del eje x (traduce el gráfico a la izquierda o ala derecha).

-c establece la tasa de crecimiento (a escala).

-e es el número de Euler (e = 2.71828).

Ejemplos de usos para las curvas de Gompertz incluyen:

-la captación del teléfono móvil, donde los costos eran inicialmente alta, seguido de un período de rápido crecimiento, seguida por una desaceleración de la captación como la saturación.

-Población en un espacio cerrado, como las tasas de natalidad primero aumentan y luego lento, como los límites de recursos se alcanzan.

-Modelación del crecimiento de los tumores.

CRECIMIENTO DE TUMORES

En la década de 1960 A. K. Laird por primera vez utilizado con éxito la curva de Gompertz para ajustar los datos de crecimiento de los tumores.

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