Capitulo 6 Distribuciones binomial, normal y de Poisson

Capitulo 6

Distribuciones binomial, normal y de Poisson

DISTRIBUCION BINOMIAL

Consideramos pruebas repetidas e independientes de un experimento con dos resultados; llamamos uno de los resultados favorable (o éxito) y el otro desfavorable (o fracaso). Sea p la probabilidad favorable, así que q = 1 – p es la probabilidad desfavorable. Si estamos interesados en el número de éxitos y no en el orden en que suceden, entonces aplicamos los teoremas siguientes.

Teorema 6.1: La probabilidad de k éxitos exactamente en n pruebas repetidas se denota y expresa por

b(k; n , p) = ( )  [pic 1][pic 2][pic 3]

Aquí ( ) es el cociente binomial (ver página 91). Téngase en cuenta que la probabilidad desfavorable es  y, por consiguiente, la probabilidad de por lo menos un éxito es 1 - .[pic 4][pic 5][pic 6]

Ejemplo 6.1: Se lanza una moneda corriente 6  veces o, su equivalente, seis monedas corrientes se lanzan una vez; llamamos cara a un éxito. Por consiguiente n = 6 y p = q = [pic 7]

1. La probabilidad de que sucedan dos caras exactamente (o sea, k  = 2) es

 = ( )   = [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

1. La probabilidad de conseguir por lo menos cuatro caras (o sea, k = 4, 5 o 6)                           +  +  = ( )   + ( )   + ( ) [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

1. La probabilidad de no caras (o sea, todos fracasos) es  =  =   y, por tanto, la probabilidad de una cara por lo menos es 1-  = 1 -   =   [pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

Ejemplo 6.2: Un dado corriente se lanza 7 veces; llamamos a un lanzamiento un éxito si sale 5 o un 6. Entonces n = 7, p = P() =    y q = 1 – p =  [pic 30][pic 31][pic 32]

(

1. La  probabilidad de que un 5 o 6 salga 3 veces exactamente (o sea, k = 3) es    =     = [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

1. La probabilidad de que un 5 o 6 no salga (o sea, todos fracasos) es  =  = ;  por consiguiente la probabilidad de que un 5 o 6 salga una vez por lo menos es 1 -  = . [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

Si consideramos n y p como constantes, entonces la función anterior p(k) =  es una distribución  de probabilidad discreta:[pic 43]

Se le llama distribución binomial puesto que para k = 0, 1, 2, …, n corresponde a los términos sucesivos del desarrollo binomial

 =  +  +  + … + [pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

Esta distribución se conoce también como distribución de Bernoulli, y las pruebas independientes con dos resultados se llaman pruebas de  Bernoulli.

...