Factorización

INTRODUCCIÓN

L

a factorización es la descomposición de una expresión matemática Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas.

FACTORIZACION

T

odos los términos de la expresión presentan un factor común, que puede ser un monomio o un polinomio, por el cual se factoriza es decir, el termino común es uno de los factores de la multiplicación. El otro se determina aplicando la multiplicación algebraica.

Factorizar consiste en expresar un polinomio como resultado de un producto. Básicamente hay dos métodos de factorización: a uno lo llamaremos factor y al otro factorizador de un trinomio al cuadrático.

El método de factor común consiste en :

-seleccionar el factor deseado

-expresar el producto de ese factor por el resultado de dividir cada uno de los términos del polinomios entre el factor.

〖4x〗^5-〖2x〗^3+〖8x〗^(2 ) -10x

Si queremos factorizar en 2, tenemos:

2(2x^5-x^4+7x^3-4x^2-5x)

Si queremos factorizar en 〖2x〗^tenemos:

2x(2x^4-7x^2+4x-5)

El método de factorización de un trinomio cuadrático tiene por objetivo encontrar dos binomios que multiplicados den el polinomio. Para encontrarlo hay que:

Acomodar el polinomio en orden decreciente con respecto de los exponentes de la variable.

Buscar dos términos que multiplicados den el primer termino del polinomio.

Buscar dos términos que multiplicaras den el último término del polinomio.

La suma de los productos cruzados de estos cuatro términos debe ser el resto del polinomio.

Los binomios son las dos columnas obtenidas.

Ejemplo:

Factorizar: 26x+15x^2+8

Acomodar el polinomio en orden decreciente con respecto de los exponentes de la variable: 15x^2+26x+8

Buscar dos términos que multiplicados den el primer termino del polinomio:

3x 5x

Buscar dos términos que multiplicados den el término del polinomio:

2 4

La suma de los productos cruzados de estos cuatro términos debe ser el resto del polinomio: 3x 5x

(3x)(2)+(4)(5x)=26x

FACTORIZACIÓN DE UN CUBO PERFECTO

El polinomios ordenado en forma descendente en relación con una de las variables, tiene como características como su primer término y el ultimo los exponentes de las variables son múltiplos de tres, por lo que podemos afirmar que esas variables fueron elevadas a la tercera potencia,(a^n)3= a3n donde n∈W. Para saber si todo el termino representa un cubo, el coeficiente numérico del primer término y del último termino deben tener raíz cubica exacta.

Para nuestro ejemplo:

8a^6-36a^2 b^6-27b^9

(2a^2 ) (-3b^3)

FACTOR COMUN

Definamos factor como “aquel que multiplica” se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones que multiplicadas entre si , dan como producto la primera expresión. Descomponer en factores o factorizar una expresión algebraica es convertirla en el producto indicado de sus factores.

Ejemplo :

Descomponer factores: 10x^2-5x^4+20x^3=

Primero: el máximo común divisor de todos los coeficientes del os términos (máximo numero que puede dividir al mismo tiempo).

Los términos de la expresión presentan un factor común, que puede ser un monomio o un polinomio, por el cual se factoriza es decir el termino común es un de los factores de la multiplicación. El otro se determina aplicando la multiplicación algebraica.

10 5 20

2 1 4 5

Segundo: verificar que la o las variables aparezcan en todos los coeficientes de los términos, si es así, obtener la de menor exponente. En este caso solo figura la variable x y si aparece en otra expresión por lo que la menor exponente es x^2.

Tercero: obtenemos de la expresión el coeficiente y la o las variables

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