Factorizacion

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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

Material con fines didácticos

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Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

FACTORIZACIÓN.

Factorización: es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una

expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más

factores.

· Factorización por factor común: se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un

paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada

término del polinomio por el F.C.

CASO I: Factor común monomio:

1. Descomponer en factores a 2 + 2a

a 2 y 2a contienen el factor común a . Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis

dentro del cual escribimos los cocientes obtenidos de dividir a 2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y tendremos:

a 2 + 2a = a (a + 2)

2. Descomponer 10b - 30ab.

Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre se

saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b, porque está en los dos

términos de la expresión da-da, y la tomamos con su menor exponente b.

El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis dentro del cual ponemos

los cocientes de dividir 10b ÷ 10b = 1 y - 30ab 2 ÷ 10b = - 3ab , y tendremos:

10b - 3ab 2 = 10b (1 - 3ab )

3. Descomponer 10a 2 - 5a + 15a 3

El factor común es 5a. Tendremos:

10a 2 - 5a + 15a 3 = 5a (2a - 1 + 3a 2)

4. Descomponer:

18mxy 2 - 54m2x 2y 2 + 36 my 2

El factor común es 18 my 2. Tendremos:

18mxy 2 - 54m2x 2y 2 + 36my 2 =

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18my 2(x - 3mx 2 + 2)

5. Factorar 6x y 3 - 9nx 2y 3 + 12nx 3y 3 - 3n 2x 4y 3

El factor común es 3x y 3. Tendremos:

6x y 3 - 9nx 2y 3 + 12nx 3y 3 + 3n 2x 4y 3 =

3x y 3(2 - 3nx + 4nx 2 - n 2x 3)

Prueba general de los factores

Para hacer la prueba en cualquiera de los diez casos que estudiaremos en este capítulo, basta

multiplicar los factores obtenidos y su producto debe ser igual a la expresión factorada.

CASO II: Factor común polinomio:

1. Descomponer x (a + b ) + m(a + b )

Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b ), por lo que ponemos (a + b ) como

coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de

la expresión dada entre el factor común (a + b ), o sea:

( )

( )

( )

( ) m

a b

x

a b

x a b =

+

= +

+

+ m a b

y y tendremos:

x (a + b ) + m(a + b ) = (a + b )(x + m)

2. Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1)

El factor común es (a - 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor

común (a - 1), con lo que tenemos:

( )

( )

( )

( ) y

a

x

a

x a = -

-

=

-

-

1

-y a -1

2 y

1

2 1

Luego tendremos:

2x (a - 1) - y (a - 1) = (a - 1)(2x - y )

3. Descomponer m(x + 2) + x + 2

Podemos escribir esta expresión así: m(x + 2) +

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(x + 2) = m(x + 2) + 1(x + 2)

El factor común es (x + 2) con lo que tenemos: m(x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(m + 1)

4. Descomponer a (x + 1) - x - 1

Al introducir los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) , se tiene:

a (x + 1) - x - 1 = a (x + 1) - (x + 1) = a (x + 1) - 1(x + 1) = (x + 1)(a - 1)

5. Factorar 2x (x + y + z ) - x - y - z

Con esto tendremos:

2x (x + y + z ) - x - y - z = 2x (x + y + z ) - (x + y + z ) = (x + y + z )(2x - 1)

6. Factorar (x - a )( y + 2) + b ( y + 2)

El factor común es ( y + 2), y dividiendo los dos términos de la expresión dada entre ( y + 2)

tenemos:

( )( )

( )

( )

( ) b

y

x a

y

x a y =

+

= - +

+

- +

2

b y 2

y

2

2

; luego:

(x - a )( y + 2) + b ( y + 2) = ( y + 2)(x - a + b )

7. Descomponer (x + 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 3)

Al dividir entre el factor común (x - 1) tenemos:

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( 3)

1

- x -1 3

2 y

1

2 1 = - -

-

= + -

-

+ - x

x

x

x

x

x x

Por tanto:

(x + 2)(x - 1) - (x - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 2) - (x - 3) = (x - 1)(x + 2 - x + 3) = (x - 1)(5) = (x - 1)

8. Factorar x (a - 1) + y (a - 1) - a + 1

x (a - 1) + y (a - 1) - a + 1 = x (a - 1) + y (a - 1) - (a - 1) = (a - 1)(x + y - 1)

CASO III: Factor común por agrupación de términos:

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Ejemplos

1) Descomponer ax + bx + ay + by

Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y . Agrupamos

los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer

término tiene el signo (+) :

ax + bx + ay + by = (ax + bx ) + (ay + by )

= x (a + b ) + y (a + b )

= (a + b )(x + y )

Hay varias formas de hacer la agrupación, con la condición de que los dos términos agrupados

tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis

después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible,

la expresión dada no se puede descomponer por este método.

En el ejemplo anterior podemos agrupar el 1o. y 3er. términos con el factor común a y el 2o. y 4o.

con el factor común b, y tendremos:

ax + bx + ay + by = (ax + ay ) + (bx + by )

= a(x + y ) + b (x + y )

= (x + y )(a + b )

Este resultado es idéntico al anterior, ya que el orden de los factores es indiferente.

2) Factorar 3m 2 - 6mn + 4m - 8n . Los dos primeros términos tienen el factor común 3m y los dos

últimos el factor común 4. Agrupando, tenemos:

3m2 - 6mn + 4m - 8n = (3m2 - 6mn ) + (4m - 8n )

= 3m(m - 2n ) + 4(m - 2n )

= (m - 2n )(3m + 4)

3) Descomponer 2x 2 - 3x y - 4x + 6y . Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos

últimos el factor común 2, entonces los agrupamos pero introduciendo los dos últimos términos en

un paréntesis precedido del signo - (porque el signo del 3er. término es - ) para lo cual hay que

cambiarles el signo, y tendremos:

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2x 2 - 3x y - 4x + 6y = (2x 2 - 3x y ) - (4x - 6y )

= x (2x - 3y ) - 2(2x - 3y )

= (2x - 3y )(x - 2)

Otra alternativa es agrupar el 1o. y 3o. términos con factor común 2x , y el 2o. y 4o. con factor común

3y , con lo que tendremos:

2x 2 - 3x y - 4x + 6y = (2x 2 - 4x y ) - (3x y - 6y )

= 2x (x - 2) - 3y (x - 2)

= (x - 2)(2x - 3y )

4) Descomponer x + z 2 - 2ax - 2az 2

x + z 2 - 2ax - 2az 2 = (x + z 2) - (2ax + 2az 2) = (x + z 2) - 2a (x + 2az 2) = (x + z 2)(1 - 2a )

Al agrupar los términos 1o. y 3o., 2o. y 4o., tenemos:

x + z 2 - 2ax - 2az 2 = (x - 2ax ) + (z 2 - 2az 2)

= x (1 - 2a ) + z 2(1 - 2a )

= (1 - 2a )(x + z 2)

5) Factorar 3ax - 3x + 4y - 4ay

3ax - 3x + 4y - 4ay = (3ax - 3x ) + (4y - 4ay )

= 3x (a - 1) + 4y (1 - a )

= 3x (a - 1) - 4y (a - 1)

= (a - 1)(3x - 4y )

En la segunda línea del ejemplo anterior, los binomios (a - 1) y (1 - a ) tienen signos distintos; para

hacerlos iguales los cambiamos al binomio (1 - a ) convirtiéndolo en (a - 1), pero para que el producto

4y (1 - a ) no varíe de signo le cambiamos el signo al otro factor 4y convirtiéndolo en - 4y . De este

modo, como cambiamos los signos a un número par de factores, el signo del producto no varía.

En el ejemplo anterior, al agrupar los términos 1o. y 4o., 2o. y 3o., tenemos:

3ax - 3x + 4y - 4ay = (3ax - 4ay ) + (3x - 4y )

= a (3x - 4y ) - (3x - 4y )

= (3x - 4y )(a - 1)

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6) Factorar: ax - ay + az + x - y + z

ax - ay + az + x - y + z = (ax - ay + az ) + (x - y + z )

= a (x - y + z ) + (x - y + z )

= (x - y + z ) + (a + 1)

· Factorización de un trinomio cuadrado perfecto:

REGLA PARA FACTORAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

La regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto dice que se extrae la raíz cuadrada al primer y

tercer términos del trinomio

...