INTEGRAL DEFINIDA

DESARROLLO DEL TRABAJO

Concepto:

En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

Toda relaciones entre tal función que designamos por u(x,y,z,t) y sus derivadas parciales relativas a cada una de las variables independientes nos proporcionara una ecuación en Derivadas Parciales.

Tales ecuaciones presentan, en un cierto sentido, un grado de intermedio de dificultad matemática entre las ecuaciones diferenciales ordinarias por un lado y las ecuaciones diferenciales en Ecuaciones Parciales con tres o más variables independientes por otro.

Definición de ecuación en derivadas parciales

Toda igualdad que relaciona a una función desconocida con sus variables independientes y con sus derivadas parciales, se llama ecuación diferencial en derivadas parciales. Se representa por donde es la variable dependiente.

Solución general

Una función es solución general de una ecuación diferencial en derivadas parciales de orden , si la satisface al sustituirla en ella y además involucra funciones arbitrarias diferentes; esto es, se tiene una función de varias variables que contiene funciones univariables esenciales y arbitrarias.

Solución particular

Una solución particular de una ecuación diferencial parcial es aquella que se obtiene de la solución general aplicando valores en la frontera.

Método de separación de variables

1. Se supone una función solución de la ecuación diferencial parcial, o bien .

2. Sustituir a y sus derivadas parciales en la ecuación diferencial parcial.

3. Separar en cada lado de la ecuación diferencial parcial a las funciones univariables con sus respectivas derivadas.

4. Se igualan ambos lados de la ecuación diferencial parcial con una constante, llamada constante de separación.

5. Resolver las dos ecuaciones diferenciales ordinarias que se tienen.

6. Multiplicar las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias del paso anterior, para así obtener la solución completa de la ecuación diferencial parcial.

Es importante subrayar que: como la constante de separación no se conoce, salvo en ejercicios escolares, se deben analizar las posibilidades del signo de dicha constante, tomando en cuenta la información completa del experimento físico o de la aplicación en el caso real.

Limitaciones del método de separación de variables

a) La ecuación diferencial parcial tiene que ser lineal.

b) La solución de la ecuación diferencial parcial debe ser una función de dos variables

Independientes.

Principio de superposición

Es bien conocido en la teoría de las ecuaciones diferenciales el hecho de que si cada una de las Funciones satisfacen una ecuación diferencial parciales lineal y homogénea, entonces toda combinación lineal de estas funciones en donde los son constantes, y " " también satisface la ecuación.

Clasificación de las ecuaciones

Una ecuación en derivadas parciales, lineal de segundo orden con dos variables independientes y con coeficientes constantes, puede pertenecer a uno de tres tipos generales. Esta clasificación sólo depende de los coeficientes de las derivadas de segundo orden. Naturalmente, suponemos que al menos uno de los coeficientes A, B y C no es cero.

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