Integral Definida

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

LA INTEGRAL DEFINIDA

Rosa N. Llanos Vargas

Nuevo Chimbote

INDICE

Pág

Sumatoria 3

Partición de un intervalo 7

Area de una región acotada en el plano 9

Suma de Riemann 11

Propiedades de la integral definida 14

Teorema del valor medio para integrales 16

Primer teorema fundamental del cálculo 16

Segundo teorema fundamental del cálculo 19

Ejercicios 23

Bibliografía 27

INTRODUCCION

Esta separata ha sido elaborada para ser utilizada como material de apoyo para la primera unidad de aprendizaje de la asignatura de Matemática II de las Escuelas Académico Profesionales de Ingeniería Civil, Ingeniería en Energía e Ingeniería Agrónoma de la Universidad Nacional del Santa.

Se inicia con un tratamiento de la sumatoria y sus propiedades, las integrales superior e inferior, la definición de integral definida y sus propiedades, posteriormente se analizan y aplican los teoremas del valor medio y los teoremas fundamentales del cálculo y sus aplicaciones; se termina con una lista de ejercicios.

En la separata se contemplan un conjunto de actividades de aprendizaje orientadas al logro de objetivos relacionados con cada contenido, actividades que van desde la presentación del marco teórico, las ejemplificaciones, aplicaciones y transferencia a partir de ejercicios propuestos para que el estudiante mediante el ensayo- error pueda lograr un aprendizaje significativo.

Desde ya expreso mi agradecimiento a todas las personas que de una u otra forma han contribuido para hacer realidad este material. Quedaré muy reconocida por las recomendaciones y sugerencias que puedan alcanzarme para mejorar futuras versiones de esta separata.

Rosa N. Llanos Vargas

LA INTEGRAL DEFINIDA

I .- LA NOTACIÓN SIGMA (SUMATORIAS)

Sean m y n números enteros positivos tal que m < n y sea f una función definida para cada número entero i , donde m < i < n. La suma de los términos f (m), f (m+1) , f(m+2) , f(m+3) ,... , f(n) se denota por :

La letra griega  (Sigma) es llamado el símbolo sumatoria ,

i se llama índice de la sumatoria

m y n son los límites inferior y superior respectivamente

f(j) es el j-ésimo término de la sumatoria.

La sumatoria tiene (n-m+1) sumandos

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

Ejemplo 1 . Calcular

a) ∑_(i=1)^200▒3^i b) ∑_(k=1)^n▒〖sen(kx)〗

Solución

En la sumatoria

∑_(i=1)^200▒3^i

se distingue f(i) = 3i , además por la propiedad telescópica se sabe que

∑_(i=1)^200▒〖(3^i-3^(i-1) )=f(200)-f(0)= 3^200-3^0……………………………………(1 )〗

Por otro lado,

∑_(i=1)^200▒〖(3^i- 3^(i-1) ) = ∑_(i=1)^200▒3^i (1-3^(-1) ) =(2/3)∑_(i=1)^200▒3^i 〗 ………….( 2 )

De (1 ) y ( 2 ), resulta

(2/3) ∑_(i=1)^200▒3^i = 3^200-1

Es decir

∑_(i=1)^200▒3^i =3/2 (3^200-1)

b) ∑_(k=1)^n▒〖sen(kx)〗

Sea f(k) = cos(kx), entonces

f( k + 1) = Cos (k + 1)x = cos(kx) cos(x) – sen(kx) sen (x)

f(k – 1 ) = Cos (k - 1)x = cos(kx) cos(x) + sen(kx) sen (x)

f ( k + 1 ) – f( k – 1 ) = -2 sen( kx) sen (x) , entonces

∑_(k=1)^n▒[f ( k+1) -f ( k-1 )] = ∑_(k=1)^n▒〖-2sen(kx)sen (x)=-2sen(x)∑_(k=1)^n▒〖sen(kx)〗〗

La sumatoria de la izquierda es igual a

f (n+1) + f ( n) – f ( 1 ) – f ( 0 ) = cos ( n + 1 ) + cos (nx) – cos x -1

Despejando de la expresión anterior la sumatoria solicitada, resulta

∑_(k=1)^n▒〖sen( kx )= -2/senx (cos⁡〖( n+1 )x+cos⁡〖( nx )-cos⁡〖(x)-1〗 〗 〗 ) 〗

Ejemplo 2. Demostrar que

a)∑_(i=1)^n▒〖i= (n ( n+1))/2〗 b) ∑_(i=1)^n▒〖i^2= (n ( n+1)(2n+1))/6〗

Solución

Sea f(i ) = i 2 , entonces

f ( i ) – f ( i – 1 ) = i2 – ( i – 1 ) 2 = 2i -1, es decir

f ( i ) – f ( i – 1 ) = 2i – 1 ………………………………………… ( 3 )

luego,

∑_(i=1)^n▒〖[ f(i)-f(i-1)]= ∑_(i=1)^n▒〖(2i-1 )=2〗〗 ∑_(i=1)^n▒〖i- 〗 ∑_(i=1)^n▒〖1=2[∑_(i=1)^n▒〖i 〗] 〗 -n

De donde

∑_(i=1)^n▒i =1/2 (n+ ∑_(i=1)^n▒〖[ f(i)-f( i-1 )]〗)

Por propiedad telescópica, la sumatoria de la derecha es igual a

f ( n ) – f ( 0 ) = n2 – 0 ; reemplazando en la ecuación anterior, resulta

∑_(i=1)^n▒i=1/2 (〖 n +n〗^2 ) = (n(n+1))/2

Ejemplo 3. Encontrar una fórmula para calcular

∑_(k=1)^n▒kk!

Solución

Sea f ( k ) = k! , entonces f ( k + 1 ) = ( k + 1 )! , de donde la diferencia

f( k + 1 ) – f ( k ) = (k + 1 )! – k! = ( k + 1 ) k! – k! = k k!

∑_(k=1)^n▒[f(k+1)-f(k)] = ∑_(k=1)^n▒kk!

Por otro lado,

∑_(k=1)^n▒〖f (k+1 )-f (k)=f ( n+1 )-f ( 1 )=( n+1)!-1!〗

En consecuencia

∑_(k=1)^n▒kk!=(n+1)!-1

EJERCICIOS .

Demostrar las fórmulas 7 , 8 y 9

Hallar una fórmula para calcular

a) ∑_(k=1)^n▒〖ar^k 〗 ,a>0 ,a ≠1 b) ∑_(i=2)^n▒(1/(i^2-1)) c) ∑_(k=1)^n▒〖cos⁡(kx)〗

d) ∑_(k=1)^n▒(√(2i+1)- √(2i-1)) e) ∑_(k=1)^n▒〖9 (4/7)^(i-1) f) ∑_(i=2)^n▒〖((i+1)/(i+2)- (i-2)/(i-1)) 〗〗

g) ∑_(k=1)^n▒((√(i+1)- √i)/√(i^2+i)) h)∑_(k=1)^n▒(3^i-3^(i-1) ) i) ∑_(k=1)^n▒((7^i+5^i)/2^i )

2.-PARTICION DE UN INTERVALO .- Una partición del intervalo cerrado [ a , b ] es toda colección finita P de puntos x0 , x1 , x2 , ...., x n ., se denota :

P = { x0 , x1 , x2 , ...., x n } , tal que :

a = x0 < x1 < x2 < .... < x n = b

Aserciones :

1.- Toda partición P del intervalo cerrado [ a , b ] lo divide en n – subintervalos , no necesariamente todos de la misma longitud .

2.- La longitud del i - ésimo subintervalo [ x i - 1 , x i ] ], para todo i = 1, ..., n se denota

∆_i x= x_i-x_(i-1)

además se verifica que la suma de las longitudes de todos los subintervalos generados es igual a : ( b – a )

3.- Si todos los subintervalos son de la misma longitud , entonces esa longitud es

de allí que : x0 = a , x1 = x0 + ∆ x , x2 =x0 + 2∆ x , ... ,x i = x0 +i ∆ x , ...., x n = b

DEFINICIÓN .- La norma de una partición P es el número real no negativo , denotado por

// P// tal que :

//P// = Máx {  ix ; i = 1,2,...n }

NOTA.- Se dice que la partición P es más fina que la partición Q cuando //P// < //Q// P y Q son particiones de [a,b]

AREA DE UNA REGIÓN ACOTADA EN EL PLANO

Sea f una función continua definida sobre el intervalo cerrado [ a, b] con y = f ( x ) , además f(x) ≥ 0 ,  x  [ a , b ].

Considérese la región plana R limitada por la curva y = f(x) , el eje X y las rectas verticales x = a , x = b .

Siendo f continua sobre el intervalo cerrado [a , b] ella es acotada allí, es decir existe un valor mínimo y un valor máximo de f . Sea M = máxf y m = mínf para valores de x en [a, b]

Sea P = { x0 , x1 , x2 , ...., x n } una partición del intervalo [a , b ] ,tal que

i x = x i - x i-1 , para i = 1,2,3,...n

es la longitud del i - ésimo subintervalo [ x i-1 , x i ]

La función f es continua en cada subintervalo generado por la partición . Sean mi y Mi los valores mínimo y máximo de f en el subintervalo [x i-1 ,x i] ;luego existen c i , di  [ x i-1 , x i ]

tal que f(c i) = m i , y f(di ) = M i , además

f(c i) < f ( x ) < f (di ) ,  x  [ x i-1 , x i ] , para i = 1,2,...n

Con base  i x y altura mi se construye un rectángulo inscrito en la i - ésima región de R . El área de este rectángulo es A i = ( mi ∆i x . S representa la suma de las áreas de todos los rectángulos inscritos dentro de la región R, entonces,

▁S ( f, P ) = m1  1 x + m2  2 x + ...+ m n  n

Asimismo S ̅(f, P ) = M1  1 x + M2  2 x + ...+ M n  n x , representa la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos a R

Si A( R ) es el área de la región R , entonces ▁S(P, f) < A( R ) < S ̅ ( P, f) .

Si los subintervalos tienen la misma longitud  x = (b - a)/n , el área total de los rectángulos inscritos es dado por

▁S ( f, P ) = m1 x + m2  x + ...+ m n 

...