Integral definida

Integral definida

Introducción

La integral nació por la necesidad de calcular el área de figuras planas en particular por la necesidad de calcular el área de figuras irregulares, el área de un triangulo, de un cuadrado, de un rectángulo se pueden obtener mediante la utilización de formulas matemáticas sencillas.

Pero como se calcula el área de figuras como esta:

La idea que surgió es dividir el problema en problemas mas sencillos así surgió el método griego del agotamiento para calcular el área de un circulo insertaron dentro del mismo triángulos mas pequeños, la suma del área de los triángulos seria aproximadamente igual al área del circulo.

Cuantos más triángulos se añada dentro del círculo mayor seria la aproximación.

El proceso es bastante agotador y de ahí el nombre de método del agotamiento.

Esta idea se traslado a figuras más complejas trasformando el área de la figuras irregular en áreas de figuras regulares, en el caso de este polígono irregular lo dividimos en una composición de varias figuras regulares y la suma de todas esas áreas nos dará el área del polígono.

En el caso de esta figura en el primer grafico se hacen rectángulos en intervalos de 0-5 y vemos que nos salen 6 rectángulos cuya suma nos da un aproximado del área que queremos encontrar.

En el segundo grafico hacemos intervalos más pequeños es decir de 0-3 notamos que tenemos 10 rectángulos cuya suma de sus áreas nos dará un resultado más exacto y así podemos repetir este proceso indefinidamente y así surge el concepto de integración.

Una integral definida es una suma pero para un número infinito de términos, de hecho el símbolo de integración procede de la letra S (suma).

Suma de las áreas de un conjunto de rectángulos cuyas alturas vienen dadas por los valores de una función y cuyas bases tienen longitudes infinitesimales

El área de uno de estos rectángulos seria:

Base x altura= f(xi) Δxi

y el área total seria la suma de las áreas del total de rectángulo que considere:

∑_(i=1)^n▒〖f(x〗i) Δxi

Para un resultado más exacto se considera un número infinito de rectángulos:

lim┬(n→∞)⁡∑_(i=1)^n▒〖f(x〗i Δ) xi

Esto es en resumen una integral definida la suma de las áreas de infinito rectángulos cuyas alturas vienen dadas por la función que estemos resolviendo y cuyas bases tienen longitudes muy pequeñas.

∫_a^b▒〖f(x)dx=〗 lim┬(n→∞) ∑_(i=1)^n▒〖f(x〗i) Δxi

Tipos de integrales

Hay dos tipos de integrales:

Integral definida.-aquellas que representan el área de una porción de una plano limitado por la grafica de una función, el eje x y las rectas paralelas x=a y x=b

Integral indefinida.-es una funcion inversa a la derivacion , si lo contrario de una multiplicacion es la divicion lo contrario a una derivada es una integral.

Una diferencia es que las integrales definidas dan como resultado un valor numerico mientras que las derivadas indefinadas dan como resultado una funcion.

Integral definida

Si para una integral definida de una funcion continua f(x)elegimos dos valores a y b que pertenescan a su dominio entonces la integral entre a y b sera igual a la funcion primitiva entre dos limites de integracion a y b es decir F(b) –F(a) en otras palabras para resolver una integral definida primero encontramos la integral primitiva sin la constante c y despues sustituimos en la variable con respecto a la cual estemos integrando primero el limite superior de integracion y restamos sustituyendo enm la variable el limite inferior de integracion

∫_(a→limite inferior de la funcion)^(b→limite superior de la funcion)▒〖f(x)dx=F├ (x)] 〗 (_a^b)=F(b)-F(a)

ejemplo: y=3x5

∫_1^9▒3x5dx=├ 〖3x〗^6/6] (_1^9)[〖3*9〗^6/6] -[〖3*1〗^6/6]=265.720

INTEGRAL DEFINIDA-DEFINICION

El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc., además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo se calcula.

Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función muy sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y tratar de calcular el área de la superficie limitada por la función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa x = 1.

Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto su área es 1/2.

Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos sencillos.

Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos como se observa en la figura, la suma de las áreas de los rectángulos rayados es menor que el área del triángulo; mientras que la suma de las áreas de los rectángulos punteados, exceden al área del triángulo.

Calculando estas áreas se obtiene:

Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso, 0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.

Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0, 1], parece lógico que las diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se «desperdicia» es menor, si n > 4.

Área por defecto:

Área por exceso:

Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:

Además,

Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando.

Partición de un intervalo [a, b]

Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y cuya unión es [a,b]. La partición de un intervalo queda determinada por los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la partición se suele expresar nombrando dichos extremos. En la figura, la partición de

[a, b] es:

Estos extremos se suelen escribir en orden creciente,

a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = b

Ejemplo de partición

Función escalonada

Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en

R, f:[a,b] → R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición.

Ejemplos de funciones escalonadas

1. La función f: [-3, 4] ð→ R definida por:

La partición asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo la función es constante.

Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de particiones asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra partición asociada a f, ya que la función toma valores constantes en cada intervalo de la partición.

2. El ejemplo más representativo de función escalonada es la función parte

La imagen de un número cualquiera mediante E[x] es el mayor número entero que es menor o igual que el número del que se parte.

Así,

E [3,105] = 3

E [5] = 5

E [-3,001] = -4

E [-1,5401] = -2

E [7,32] = 7

E [-1,52] = -2

De una función escalonada sólo van a interesar los valores que toma en el interior de cada intervalo que compone la partición, no considerando el valor que toma en los extremos.

INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCION ESCALONADA

Sea f una función escalonada definida en [a, b], y P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b} una partición de [a, b]. Si mi es el valor que toma la función f en el intervalo (xi-1, xi) (es decir, si x ð (xi-1, xi), f(x) = mi ), se llama integral de la función f en [a, b] al número

m1(x1 - x0) + m2(x2 - x1) + m3(x3 - x2) + ... + mn(xn - xn-1)

Este número se simboliza por:

A los números a y b se les llama límites de integración, y la anterior expresión se lee «integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x».

Propiedades de la integral definida de una función escalonada

La integral definida de una función escalonada no depende de la partición elegida.

Esto significa que si se consideran dos particiones P y P' de una función

Si los límites de integración, en una integral definida de una función escalonada, coinciden, entonces

Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el valor de la integral cambia de signo:

Ejercicio: cálculo de integrales definidas de funciones escalonadas

Resolución:

Se

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