INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRAL DEFINIDA.

El área de una figura la podemos definir como el espacio que o región encerrada por una forma.

Por ejemplo se sabe que el área de un rectángulo es el producto de su largo y su ancho, el área de un triángulo es la mitad del producto de las longitudes de su base y su altura.

En el caso de un polígono se puede definir como la suma de las áreas de los triángulos en que puede ser descompuesto, y puede demostrarse que el área de así obtenida es independiente de cómo se descompuso el polígono en triángulos.

Si deseamos saber por qué se tratan las áreas por separado, la respuesta es que se determinaran los fundamentos necesarios para motivar geométricamente la definición de integral definida.

Recordemos que la definición de función derivada se definió geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función.

En el estudio del área se trataran sumas de muchos términos (sumatorias) de modo que se introduce una notación, llamada notación sigma, para facilitar la escritura de estas sumas, se requiere del símbolo Σ, la letra sigma mayúscula del alfabeto griego.

El miembro de la derecha de la ecuación de la definición consiste en la suma de (n-m+1) términos, el primero de los cuales se obtiene al sustituir i por m en F(i), el segundo se obtiene al reemplazar i por m+1 en F(i), y así sucesivamente, hasta que el ultimo término se obtiene sustituyendo i por n en F(i).

El número m se denomina m se denomina límite inferior de la suma, y n se denomina límite superior de la suma. El símbolo i recibe el nombre de índice de la suma. Este es un símbolo “ficticio” porque cualquier letra puede emplearse para este propósito.

En ocasiones los términos de una suma contienen subíndices como se muestra en el siguiente ejemplo:

Los teoremas siguientes tratan sobre el uso de la notación sigma, son útiles para ciertos cálculos y se demuestran fácilmente.

La palabra medida se refiere a un número (no se incluyen unidades). Ahora considérese la región R del plano de una figura, la cual está limitada por el eje x, las rectas x=a y x=b, la curva cuy ecuación es y=f(x) ≥ 0 para toda x en [a,b]. se desea asignar un número A a la medida del área de R, y utilizar un proceso de límite semejante al empleado en la definición del área de un círculo: el área de un círculo está definida como el límite de las áreas de los polígonos regulares inscritos cuando el número de los lados aumenta sin límite. Intuitivamente, se ve que cualquiera que haya sido el número elegido para representar A, ese número debe ser por lo menos tan grande como el área de cualquier región poligonal contenida en R, y no debe ser mayor que la medida del área de cualquier región poligonal que contenga a R.

Primero se define una región poligonal contenida en R. se divide el intervalo cerrado [a,b] en n sub intervalos. Para simplificar se consideran estos sub intervalos de igual longitud.

Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], con f(x)≥0 para toda x en [a,b]. y que R es la región limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b. Divida el intervalo [a,b] en n sub intervalos, cada uno de longitud ∆x=(b-a)/n, y denote el i-esimo sub intervalo por [xi-1,xi]. Entonces si f(ci) es el valor de función mínimo absoluto en el i-esimo sub intervalo, la medida del área de la región R está dada por

A=lim┬(n→∞)⁡〖 ∑_(i=1)^n▒f(c_i )∆x〗

Esta ecuación significa que para cualquier €>0 existe un numero N>0 tal que si n es un número entero positivo y

Si n>N entonces |∑_(i=1)^n▒f(c_i )∆x-A|<∈

La existencia de un valor máximo absoluto de f en cada su bintervalo está garantizada por el teorema del valor extremo. Las sumas correspondientes de las medidas de las áreas de los rectángulos circunscritos son por lo menos tan grandes como el área de la medida de la región R.

INTEGRAL DEFINIDA

Para llegar a la definición de la medida de una región plana como

lim┬(n→∞)⁡〖 ∑_(i=1)^n▒f(c_i )∆x〗

Se dividió el intervalo cerrado [a,b] en n sub intervalos, cada uno de longitud ∆x, y se tomó c_i como el punto i-ésimo sub intervalo para el cual f tiene un valor mínimo absoluto.

El límite en (1) es un caso especial de un “nuevo tipo” de proceso de límite que conduce a la definición de la integral definida.

Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a,b]. Divida este intervalo en n sub intervalos eligiendo cualesquiera n-1 puntos intermedios entre a y b. Sean x0=a y xn=b, y sean x1,x2….xn-1 los puntos intermedios de modo que x_0<x_1<x_2<⋯.x_(n-1)<x_n

Los puntos x0,x1,x2,…..xn-1,xn no son necesariamente equidistantes. Sea ∆1x la longitud

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