Intergrales Por Partes

Integración por Partes

Si tenemos que ∫▒〖x dx=1/2 x^2+c〗 y ∫▒〖x^2 dx=1/3 x^3+c〗

Es evidente que ∫▒〖x∙x^2 dx≠∫▒〖x dx∙∫▒〖x^2 dx〗〗〗

En otras palabras, la integral de un producto no es el producto de las integrales individuales

Sabemos que cada fórmula de derivación conduce a una fórmula de integración. El método de integración por partes se basa en la derivada de un producto de funciones. Si f y g son funciones diferenciables de x, la regla del producto dice:

Dx(f∙g)(x)=f(x) g^' (x)+f^' (x)g(x)

Usando formulas diferenciales, podemos reescribirlo como:

d(u∙v)=udv+vdu

En términos de integrales indefinidas, esta ecuación se convierte en:

∫▒〖d(u∙v)=∫▒〖udv+ ∫▒vdu〗〗

u∙v=∫▒〖udv+ ∫▒vdu〗

Reordenando los términos de esta última ecuación, tenemos:

∫▒〖udv=u∙v-∫▒vdu〗

Esta es la formula de integración por partes que expresa una integral, ∫▒udv, en términos de una segunda integral, ∫▒vdu

Pueden estar disponibles varias opciones para u y dv pero con una adecuada, la segunda integral puede ser más fácil de evaluar que la primera

En primer lugar debemos analizar si el ejercicio se puede integrar con una regla de integración, si no, entonces se aplica la fórmula de integración por partes.

Cuando aplicamos la formula, hay que elegir u y dv en el integrando. Si la nueva integral es mas complicada que la de partida debemos cambiar u y dv

Algunas veces hay que repetir la integración por partes varias veces, integrales sucesivas.

Cuando al hacer integrales sucesiva obtenemos en el segundo miembro una integral igual que la de partida, se despeja la integral para obtener una primitiva.

Tenemos que derivar u e integrar v’, por lo que será conveniente que la integral de v’ sea inmediata.

Las funciones polinómicas, logarítmicas y arco tangente se eligen como u

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v’

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