Relaciones

CONCEPTOS BASICOS PROPIEDADES DE LAS RELACIONES RELACIONES SOBRE UN CONJUNTO RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Relación se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto. 1-1, 1-M, M-1, M-M

Definición: Una relación R de A a B es: Muchos-a-uno, M-1 si existen dos pares con el mismo segundo elemento, esto es existen (x,y), (z,y) distintas en la relación, con símbolos (∃ x ∈ A)(∃ y ∈ B)(∃ z ∈ A) ((x,y) ∈ R ^ (z,y) ∈ R ^ x ≠ z)

Ejemplo para todas las relaciones

Cuando tenemos la matriz de una relación es muy fácil verificar si es reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Asimétrica, Antisimétrica, Transitiva:

Ejemplo.- Sea A = { a, b, c, d, e }

R1 = { (a,a), (b,b), (a,c), (b,c), (c,a), (d,d) }

R2 = { (a,a), (a,d), (c,b), (d,a), (c,e), (e,e) }

R3 = { (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (b,c), (b,a) }

R4 = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), (b,c), (b,e), (c,e), (b,d), (d,a), (e,e) }

R5 = { (a,c), (a,e), (e,c), (b,c) }

R6 = { ( (a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (a,e), (b,c), (c,b), (e,a) }

R7 = { (a,b), (b,d), (c,a), (d,e), (e,c), (b,c), (b,a) }

Representación matricial

Un número complejo se puede representar como un vector y un vector como matriz, por lo que suena lógico que un número complejo se pueda representar con una matriz, sólo que la representación no tiene que ser propiamente la de un vector en una matriz. Una posible representación de con y

El primer renglón nos dará el número complejo. Podemos definir la unidad real como

y la imaginaria como

al ser un número complejo la suma de un número real más otro número real por la unidad imaginaria, podemos hacerlo matricialmente

Con esta representación la aritmética compleja es isomorfa a las operaciones con matrices.

Al combinar y trabajar conjuntos, se establecen relaciones entre ellos. Estas relaciones se representan mediante símbolos para que al hacer operaciones, sepamos de qué se trata.

Pertenencia

Este símbolo se usa para representar que un elemento determinado hace parte del conjunto señalado.

Así mismo, representamos que un elemento no pertenece al conjunto señalado, escribiendo el mismo símbolo, pero con una línea cruzada en la mitad.

Intersección

Es el conjunto formado por los elementos comunes de A y B .

Unión

Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto a B como a A.

Una relación A es:

Reflexiva: Si todo elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

Irreflexiva: Si ningún elemento en A esta relacionado con sigo mismo, con símbolos:

Relación Simétrica, Asimétrica, Anti simétrica Y Transitiva

Teorema: Una relación R es simétrica si y solo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.

Simétrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento, el segundo también se relaciona con el primero, con símbolos: (x ,y) ∈ R ⇒ (y ,x) ∈ R

Asimétrica: Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con ambos a R b y b R a.

Teorema: Una relación R en conjunto es Anti simétrica si y solo si los elementos opuestos con respeto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.

Anti simétrica: Si cuando un elemento esta relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos:

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