Cadenas de Markov

Investigación de Operaciones II

Cadenas de Markov

Profesor: Pedro Peña Carter

Estudiante: Alexis Muñoz Salazar

Índice

1. Introducción        3
2. Desarrollo Problemática        4

2.1.- Diagrama Flujo Situación Actual        5

2.2.- Formulación del Modelo de Programación Lineal        5

2.2.1.- Definición de las variables del modelo        5

2.2.2.- Definición de la Función Objetivo del modelo        6

2.2.3.- Definición de las restricciones del modelo        6

2.3.- Resolución del Modelo mediante el SOLVER®        7

2.3.1.- Valor final de la función objetivo        7

2.3.2.- Resultados asociados a las variables del modelo        7

2.3.3.- Análisis de resultados sobre restricciones        8

2.4.- Análisis de sensibilidad del modelo        8

1. Conclusión        10
2. Bibliografía        11

Índice de Tablas

Tabla N°1: Valor de la fucnión objetivo una vez que se aplico el SOLVER®        7

Tabla N°2: Costos de Transporte por ruta y solución óptima obtenida del SOLVER® 8 Tabla N°3: Matriz de Coeficientes de restricciones, recursos, demandas y

equilibrios.        8

Tabla N°4: Informes de sensibilidad de los costos reducidos del SOLVER® de Excel 9 Tabla N°5: Informes de sensibilidad de los recursos, demandas y equilibrios del        9

SOLVER® de Excel

Indice de Diagramas

Diagrama N°1: Flujo de variable y costos        3

I.- Introducción

En el presente trabajo se utilizará un modelo de programación lineal multivariable, para formular y resolver un problema de transporte desde las plantas de producción a los locales de venta a través de centros de distribución.

El objetivo es minimizar los costos de transporte totales de cada ruta satisfaciendo la demanda de dichos locales.

Posteriormente, se realizará un análisis de sensibilidad que permite determinar los posibles escenarios antes cambios de las condiciones iniciales del problema.

II.- Desarrollo de la problemática

Una empresa multinacional de productos de consumo masivo que opera a nivel nacional, tiene dos plantas de producción (P1 y P2), las cuales tiene una capacidad de producción de 1.000 y 500 unidades respectivamente, de donde se fabrica un sólo producto para abastecer dos locales (L1 y L2), uno ubicado en el norte y el otro en el sur. Estos tienen demandas de 750 unidades cada uno. Para abastecer estos locales desde las plantas de producción, existen tres centros de distribución: Norte, Santiago y Sur. El centro de distribución norte puede ser abastecido por las plantas 1 y 2, a un costo por unidad de $ 1 y $2 respectivamente y puede abastecer al centro de distribución de Santiago y al local del norte a un costo por unidad de $1 y $6 respectivamente, además su capacidad de almacenaje es de 2.000 unidades. El centro de distribución sur puede ser abastecido por las plantas 1 y 2, a un costo por unidad de $2 y $3 respectivamente y puede abastecer al centro de distribución de Santiago y al local del sur, a un costo por unidad de $2 y $5 respectivamente, además su capacidad de almacenaje es de 1.000 unidades. Finalmente, el centro de distribución de Santiago no es abastecido por las plantas, sino sólo por los centros de distribución norte y sur. El centro de distribución de Santiago, puede abastecer a los locales norte y sur a un costo por unidad de $3 y $4, respectivamente, además su capacidad de almacenaje es de 800 unidades.

2.1.- Diagrama de flujo de la situación actual

En el presente diagrama tiene por objetivo reunir la información que posee la empresa, con el objetivo de definir claramente cada una de las variables del problema.

Diagrama N°1: Flujo de variable y costos

[pic 3]

Fuente: Información de la empresa

2.2.- Formulación del Modelo de Programación Lineal

En primer lugar se deben definiar las variables del problema, posteriormente la función objetivo y lugeo cada una de las restricciones o limitaciones del modelo.

2.2.1.- Definición de las variables del modelo

Xij = Número de unidades a transportar desde la planta i al centro de distribución j.

Yjk = Número de unidades a transportar desde el centro de distribución j al local k.

Z12 = Número de unidades a transportar desde el centro de distribución 1 (Norte) al centro de distribución 2 (Santiago).

Z32 = Número de unidades a transportar desde el centro de distribución 3 (Sur) al centro de distribución 2 (Santiago).

2.2.2.- Función Objetivo

En este caso lo que persigue el modelo es minimizar los costos de transporte.

Minimizar CT (Xij, Yjk, Z12, Z32) =1X11+ 2X13 + 2X22 + 3X23 + 1Z12+ 2Z23+ 6Y11 + 3Y21 + 4Y22 + 5Y32

2.2.3.- Definición de restricciones o limitaciones

2.2.3.1.- Capacidad de Producción: No se puede producir más de la capacidad de producción de cada una de las plantas.

Planta 1: X11 + X13 ≤ 1.000

Planta 2: X21 + X23 ≤ 500

2.2.3.2.- Capacidad de los Centros de Distribución: No se puede almacenar más productos que lo que las bodegas permiten en relación con su capacidad de almacenamiento.

Centro de Distribución Norte:        X11 + X21 ≤ 2.000 Centro de Distribución Santiago: Z12 + Z32 ≤ 800 Centro de Distribución Norte:        X12 + X23 ≤ 1.000

2.2.3.3.- Demanda en los locales: Se debe satisfacer la demanda en la medida que exista orfreta suficiente.

Local 1: Y11 + Y21 = 750 Local 1: Y22 + Y23 = 750

2.2.3.4.- Ecuaciones de Equilibrio: Se deben mantener ciertos equilibrios entre lo que ingresa a un centro de distribución y lo que sale, con esto aseguramos que no queden productos en los centros de distribución sin ser consumidos por los locales, de igual foirma es importante relacionar las variables de ingreso con las variables de salida, para que el problema tenga sentido.

Equilibrio 1 (Centro de Distribución Norte): X11 + X21 = Z12 + Y11 Equilibrio 2 (Centro de Distribución Santiago): Z12 + Z32 = Y21 + Y22 Equilibrio 3 (Centro de Distribución Sur): X13 + X23 = Z32 + Y32

2.3.- Resolución del Modelo

Para resolver el modelo propuesto en el punto 2.2) se usará el  SOLVER® que es un complemento de excel, que permite resolver problemas de programación lineal de hasta 200 variables y 300 restricciones.

2.3.1.- Función Objetivo

El valor de la función objetivo es un total de $9.450 (Tabla N°1) que representa el mínimo valor que puede tomar la función objetivo para lograr la satisfacción de la demanda de los locales. El valor se obtiene  con la fucnión suma producto de los costos de transporte y las variables del modelo.

Tabla N°1: Valor de la fucnión objetivo una vez que se aplico el SOLVER®[pic 4][pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

Fuente: Solver ® de Excel.[pic 8]

2.3.2.- Costos de Transportes, Variables y Solución óptima

De acuerdo con el uso del SOLVER® de Excel, se puede apreciar en la Tabla N°2, que la solución óptima que permite este menor valor de los costos de trasporte viene dada por:

X11= 300 Unidades.        Y21=750 Unidades.

X13= 700 Unidades.        Y22= 50 Unidades.

X21= 500 Unidades.        Y32= 700 Unidades.

Z12= 800 Unidades.

Tabla N°2: Costos de Transporte por ruta y solución óptima obtenida del SOLVER®

Fuente: Datos del Problema y Solver ® de Excel.

...