TAREA CADENAS DE MARKOV

TAREA CADENAS DE MARKOV

Alejandra Muñoz C

iCV

una caminata aleatoria de una partícula sobre las posiciones , si en el instante  la partícula se encuentra en el estado , entonces es igualmente probable que en el instante  se encuentre en el estado  ó ; y si en el instante t la partícula se encuentra en el estado  ó , entonces es igualmente probable que en el instante  se encuentre en el estado ,  ó .[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

1. (10 puntos) Escribir el proceso estocástico asociado a este , la probabilidad de transición  en términos de una probabilidad del proceso estocástico .[pic 13][pic 14][pic 15]

Desarrollo: Se inicia describiendo la cadena en términos de la variable de interés.

Entonces las probabilidades asociadas al modelo están se pueden definir considerando que las distribuciones de paso de un estado a otro son efectivamente una distribución de probabilidad. Por tanto, si definimos:

[pic 19]

La condición de que “si en el instante  la partícula se encuentra en el estado , entonces es igualmente probable que en el instante  se encuentre en el estado  ó ” se puede escribir como:[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

y si en el instante t la partícula se encuentra en el estado  ó , entonces es igualmente probable que en el instante  se encuentre en el estado ,  ó .[pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

Por tanto, la probabilidad  corresponde a la probabilidad de que si la partícula se encuentra en la posición  en un tiempo definido, en el tiempo inmediatamente posterior pase a la posición .[pic 36][pic 37][pic 38]

[pic 39]

1. (16 puntos) Determine la matriz de probabilidades de transición y desarrolle el diagrama de probabilidades de transición.

Desarrollo: De los cálculos realizados en el ítem anterior, es posible deducir que la matriz de transición está dada por:

[pic 40]

La siguiente figura muestra la representación gráfica del diagrama de probabilidades de transición solicitado en el enunciado de este ítem.

[pic 41]

Se observa que existen 5 nodos y 12 aristas, la misma cantidad del orden de la matriz de transición y de las cantidades de elementos no nulos de la misma respectivamente.

1. (16 puntos) Si en instante  se encuentra en el estado 1, mediante el uso de las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov, desarrolle la expresión que le permita llegar al cálculo de la probabilidad de que en el instante  se encuentre en el estado .[pic 42][pic 43][pic 44]

Desarrollo: Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov nos permiten calcular la probabilidad de que dada una distribución inicial obtener la distribución de probabilidad después de cierta cantidad de tiempos desde esa distribución inicial. Particulate se pide en este caso

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Se concluye entonces que si en instante  la partícula se encuentra en el estado 1, la probabilidad de que en el instante  la partícula se encuentre en el estado 3 es de .[pic 48][pic 49][pic 50]

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