Definición de series finitas

4.1.1 Definición de series finitas

Finitas

Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones.

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder con su derivada , es decir,

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2.

Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a que dicha sucesión es infinita, es la

denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir de un térmno inicial

multiplicado por una cantidad constante, p. ej.

a + ar + ar 2 + ar 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ar n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ . En

este caso la cantidad inicial a es multiplicada por la cantidad constante r para obtener dicha

serie infinita.

En general una serie infinita significa una expresión de la forma

a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + ⋅ ⋅ ⋅ ,

donde las an son números o funciones dadas por alguna regla o fórmula. Los tres puntos

significan que la serie nunca termina. Si se tiene duda de cómo es la regla usada en la

formación e la serie, el término general o término n-ésimo deberá expresarse, p. ej.

12 + 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2 + ⋅ ⋅ ⋅

x − x 2 + x

2

+ ⋅ ⋅ ⋅ +

(− 1)n−1 x n

(n − 1)!

+ ⋅ ⋅ ⋅

También usaremos formas abreviadas para denotar las series, p. ej. para las series anteriores, la

forma abreviada será

∞

∑

n=1

∞

∑ n 2

n =1

(− 1)n−1 x n

(n − 1)! .

Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo más importante para

nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas matemáticos que no pueden resolverse

en términos de funciones elementales ( potencias, raíces, funciones trigonométricas y sus inversas,

logaritmos y exponenciales y combinaciones de estos), o en caso de que puedan resolverse, es muy

complicado trabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en función de una serie y

usamos

los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuaciones diferenciales son

resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una integral definida,

0.1

por ejemplo,

∫ e − x

0

dx , para la cual no hay solución en términos de funciones

elementales, se puede resolver su expandiendo su integrando en una serie e integrando

4.1 DEFINICION DE INFINITA En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + • • lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: .

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Índice

• 1 Definiciones

o 1.1 Sumas parciales

o 1.2 Convergencia

• 2 Ejemplos

• 3 Convergencia de series

• 4 Véase también

• 5 Referencias

• 6 Enlaces externos

Definiciones

Sumas parciales

Para cualquier sucesión de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:

.

La sucesión de sumas parciales asociada a una sucesión está definida para cada como la suma de la sucesión desde hasta :

.

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Convergencia

Por definición, la serie converge al límite si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada converge a . Esta definición suele escribirse como

.

Ejemplos

• Una serie geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, la razón r = 1/2):

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |r| < 1, a:

• La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.

• Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:

• Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

• Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:

, con = .

Convergencia de series

Véanse también: Serie convergente y Serie divergente.

Una serie  ∑an  se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión SN de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de SN es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie.

Si todos los an son cero para n suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el número periódico

tiene como representación decimal, la serie

.

Dado que estas series siempre convergen en los números reales (ver: espacio completo), no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999...

4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razon(criterio de D´Alembert) y prueba de la raiz (criterio de Cauchy).

ando estudiamos las series geométricas, demostramos la siguiente fórmula: si |r| < 1, entonces

Definición 1: Sea una sucesión de números reales cualquiera. Una serie de potencias es una serie de la forma:

Donde x es una variable. .

Más generalmente, una serie de la forma

Es llamada una serie de potencias centrada en c.

Por ejemplo,

son series de potencias centradas en 0,

1 y -2, respectivamente.

Una serie de potencias en x puede ser vista como una función en x:

Cuyo dominio es el conjunto de todos los valores que puede tomar x para los cuales la serie converge.

En particular, el dominio siempre contiene al punto x = c, en el cual vale

Ejemplo: Consideremos la serie de potencias

Usando el criterio del cociente y el hecho que

Tenemos que la serie converge si R = |x| < 1 y diverge si |x| > 1. Para determinar que ocurre en

|x| = 1, observemos que

De modo que diverge en ambos casos. En suma, el dominio de la función

Es (0, 1) = {x: |x| < 1}.

4.3 SERIES DE POTENCIAS.

Las series de potencias son una de las herramientas más útiles de la matemática aplicada. Se

han utilizado en el estudio de las funciones de una variable real para poder trabajar con re-

presentaciones alternativas y bu

enas aproximaciones de las funciones más habituales y también

pueden utilizarse para obtener nuevas funciones, como las funciones de Bessel. No es de extrañar,

entonces, que nos planteemos el estudio de las series de

...