SERIES FINITA E INFINITA

SERIES FINITA E INFINITA

Una serie infinita es la suma de una asociación infinita de números

a1 +a2+a3+…+an+…

el objetivo de esta sección es explicar el significado de una suma infinita y desarrollar métodos para su cálculo. Como en una serie infinita existe una cantidad infinita de suman todos, no podemos concretarnos a sumar para ver que resulta. En lugar de eso veremos que obtenemos al sumarlos primeros n términos de la sucesión y detenernos. La suma de los primeros n términos

Sn =a1 + a2 +a3…+an

Es una suma finita común y puede calcularse por medio de una suma usual. A tal suma se le denominan n-ésima parcial. Conforme n se hace grande, esperamos que las sumas parciales se acerquen más a un valor límite, en el mismo sentido que los términos de una sucesión se aproximan a un límite, como se analizó en la selección.

Por ejemplo, para asignar un significado a una expresión como

1 +1/2 + ¼ + 1/8 +1/16 + …

Sumamos los términos uno a uno desde el inicio, y buscamos un patrón de crecimiento de las sumas.

Ciertamente existen un patrón. Las sumas parciales forman una sucesión cuyo n-ésimo termino es

Sn = 2 - ---- 1\ 2n-1

Esta sucesión de sumas parciales converge a 2, ya que limn--- -∞(1/2) = 0. Decimos que

‘’ la suma de la serie infinita 1 + ½ +1/4 + … + 1\2n-1+ … es 2’’

¿ la suma de cualquier numero finito de términos en esta serie es igual a 2? No . ¿ realmente podemos sumar, uno por uno, un numero infinito de términos? No. Pero podemos definir su suma definiéndola como el limite de la sucesión de sumas parciales cuando n---∞, en este caso 2. Nuestro conocimiento de sucesiones y limites nos permite rebasar las fronteras de las sumas finitas.

SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA

PRUEBAS DE LA RAIZ Y DE LA RAZON

La prueba de raíz mide la tasa de crecimiento ( o disminución) de una serie examinando la razón an + 1/ an. En el caso de una serie geométrica ∑ ar n, esta razón es una constante ((ar+1)/(arn)=r), y la serie converge si y solo si su razón, en valor absoluto, es menor que 1. La prueba de la razón es una poderosa herramienta para ampliar ese resultado.

PRUEBA DE RAIZ

La pruebas de convergencia que tenemos hasta ahora ∑an funcionan mejor cuando la fórmula para an es relativamente sencilla

SERIES NUMERICAS

Los conceptos e sucesiones y series van íntimamente ligados. Para entender su relación se recordara como se escriben en expansión decimal de los reales. También se recordara como se aproximan un área con sumas de Riemann por arriba y por abajo. Estas aproximaciones forman dos sucesiones numéricas de valores que se acercan al valor de un área. El concepto de sucesión numérica se relacionara con la forma de aproximar a las funciones trascendente con polinomios, a partir del desarrollo en potencias de ( x—a) de un polinomio, cualquiera y esto llevara a generalizar el concepto de serie.

DEFINICION DE SERIE Y CONVERGENCIA

Ahora si se toma el numero real N..X1,X2. Y se representa como una suma infinita se obtendrá el concepto de serie. A esta suma infinita se le asocian dos suceesiones, la de la sumas parciales y la formada como los términos general de la serie. Por ejemplo las sucesiones de sumas parciales del numero 0.3 es

0 = 0

0.3= 0 + 0.3

0.33 = 0 + 0.3 + 0.03

0.33 = 0 + 0.3 + 0.03 + 0.003

…

0.33…3 = 0 + 0.3 + … + 0.0 …3

…

En este caso la sucesión del termino general es igual a la de las sumas parciales. En general, la sucesión de la suma parciales asociadas al numero

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