Descuento racional

Descuento racional

El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C0) empleando un tipo de interés efectivo (i).

Al ser C0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operación, igual que ocurría en la capitalización, resulta válida la fórmula de la capitalización simple, siendo ahora la incógnita el capital inicial (C0).

Así pues, a partir de la capitalización simple se despeja el capital inicial, para posteriormente por diferencias determinar el descuento racional:

Cn = C0 (1 + n x i)

• Cálculo del capital inicial:

Cn

C0 = -------------

1 + n x i

• Cálculo del ahorro de intereses (Dr):

Cn Cn x n x i

Dr = Cn – C0 = Cn – -------------- = --------------

1 + n x i 1 + n x i

De otra forma:

Cn Cn x n x i

Dr = C0 x i x n = --------------- x i x n = -----------------

1 + n x i 1 + n x i

1.3.3. Descuento comercial

Los intereses generados en la operación se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un tipo de descuento (d).

En este caso resulta más interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente el capital inicial (C0).

Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los períodos descontados (n), y en cada período tanto el capital considerado para calcular los intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta:

Dc = Cn x d + Cn x d + … + Cn x d = Cn x n x d

<---------------------------------->

n veces

El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc):

C0 = Cn – Dc = Cn – Cn x n x d = Cn x (1 – n x d)

C0 = Cn x (1 – n x d)

EJEMPLO 9

Se pretende anticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros con vencimiento dentro de 3 años a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el descuento de la operación.

Caso 1:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento racional):

100

C0 = ---------------- = 76,92 €

1 + 3 x 0,1

Dr = 100 – 76,92 = 23,08 €

o bien:

Dr = 76,92 x 0,1 x 3 = 23,08 €

Caso 2:

Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el nominal (descuento comercial):

Dc = 100 x 0,1 x 3 = 30 €

C0 = 100 – 30 = 70 €

o bien:

C0 = 100 x (1 – 3 x 0,1) = 70 €

1.3.4. Tanto de interés y de descuento equivalentes

Si el tipo de interés (i) aplicado en el descuento racional coincide en número con el tipo de descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sería el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cómputo del cálculo de intereses; de forma que siempre el descuento comercial será mayor al descuento racional (Dc> Dr) –como ocurre en el ejemplo 9.

No obstante resulta interesante, para poder hacer comparaciones, buscar una relación entre tipos de interés y de descuento que haga que resulte indiferente una modalidad u otra. Será necesario, por tanto, encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de interés, para lo cual obligaremos a que se cumpla la igualdad entre ambas modalidades de descuentos: Dr = Dc.

Sustituyendo los dos descuentos por las expresiones obtenidas anteriormente:

Cn x n x i

...