Diseño Estadístico De Cartas De Control Para Datos Autocorrelacionados

1. INTRODUCCIÓN

Tradicionalmente, un proceso bajo control estadístico es aquel que genera datos independientes e idénticamente distribuidos [1]. En este caso, los procedimientos convencionales de control estadístico de procesos como las cartas Shewhart, cartas de media móvil exponencialmente ponderada (por sus siglas en inglés EWMA) y de sumas acumuladas (CUSUM por sus siglas en inglés) pueden ser aplicados con buenos niveles de desempeño. Sin embargo, con el aumento de la automatización, la información acerca del estado de los procesos se obtiene a tasas mayores, esto significa intervalos más cortos de medición que son más propensos a la presencia de autocorrelación en las observaciones [2].

Psarakis y Papaleonida [3] afirman que la autocorrelación está presente en los datos generados por procesos continuos y de producción por lotes, donde el valor particular del parámetro u observación en el tiempo depende de los valores previos. También aseguran que pequeños niveles de autocorrelación entre observaciones sucesivas pueden tener efectos negativos en las propiedades estadísticas de las cartas de control tradicionales propuestas por Shewhart en 1931. Por ello, varios investigadores [1], [4], [5], [6] han desarrollado métodos alternativos que presenten mejor desempeño que los métodos tradicionales para manejar los efectos de la autocorrelación. Uno de los métodos más comunes es el uso de modelos de series de tiempo, que ajusta los datos a un modelo adecuado y aplica cartas de control a los residuales. Este enfoque fue propuesto originalmente por autores como Alwan y Robert [1], y Wardell et ál. [7]. En la práctica la aplicación de modelos de series de tiempo para los residuales es compleja, por ello autores como Reynolds y Lu [8], y Atienza et ál. [9] diseñaron procedimientos que buscan simplificar su implementación a través del monitoreo directo de las observaciones originales.

Recientemente se ha afirmado en la literatura [10] que las cartas de control basadas en algoritmos de minería de datos como vector de soporte regresivo, redes neuronales o multivariate adaptive regression splines presentan un mejor desempeño comparado con las herramientas basadas en series de tiempo.

Este artículo recopila los avances más significativos de la literatura en el diseño estadístico de cartas de control para datos autocorrelacionados. Se presentan, en orden temporal, los enfoques más significativos propuestos en los últimos veinte años, divididos en tres enfoques: cartas de control basadas en residuales, cartas de control convencionales modificadas y cartas de control con aplicaciones de minería de datos. Por último, se presentan las conclusiones y futuras líneas de investigación.

2. TRATAMIENTO DE DATOS AUTOCORRELACIONADOS EN CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

El principal efecto de utilizar datos autocorrelacionados para realizar control estadístico de un proceso es que genera límites de control estrechos, lo que provoca un incremento en la tasa de falsas alarmas y una disminución en la capacidad de detección de la carta. En consecuencia, la longitud promedio de corrida (ARL por sus siglas en inglés), la métrica de desempeño más popular, no se calcula correctamente. Una idea sencilla para evitar la auto-correlación consiste en el aumento del intervalo de muestreo; sin embargo, el uso ineficiente de los datos disponibles puede causar una disminución en la potencia de los gráficos de control [3]. Muchos autores [1], [8], [5], [6] han concentrado sus esfuerzos en desarrollar métodos que permitan el control estadístico eficiente de procesos autocorrelacionados.

Cartas de control basadas en residuales

Alwan y Roberts [1] resaltan que encontrar un proceso bajo control estadístico según lo planteado idealmente por Shewhart no es común, pues aparecen con frecuencia correlaciones y otros efectos sistemáticos de series de tiempos entre las variables. Esto conduce a serios errores en la aplicación de las cartas de control, por ello se desarrolló un método que ajusta los datos observados a través de un modelo de series de tiempo, que permite la aplicación de procedimientos estándares a los residuales de los valores ajustados. Como resultado de esta propuesta surgen dos cartas: la primera, en la que se grafican los valores ajustados, denominada carta de las causas comunes (CCC por sus siglas en inglés), y la segunda, la carta de las causas especiales (SCC por sus siglas en inglés), que grafica residuales luego de modelar la serie de datos mediante un proceso autorregresivo integrado de media móvil (ARIMA por sus siglas en inglés). El problema en la aplicación de lo propuesto por Alwan y Roberts [1] es que la implementación resulta más compleja, dado que requiere de mayor habilidad en el análisis de series de tiempo, así como conocimiento estadístico en relación con los procedimientos sugeridos por Shewhart originalmente.

Harris y Ross [11] estudiaron el efecto de la correlación en el desempeño de las cartas de media móvil exponencialmente ponderada (EWMA por sus siglas en inglés) y de sumas acumuladas (CUSUM por sus siglas en inglés). Concluyeron que la presencia de correlación entre observaciones genera una señal errónea del estado del proceso. Para solucionar esta situación propusieron modelar el proceso autocorrelacionado mediante modelos de series de tiempo y monitorear los residuales, obteniendo mejores resultados en contraste con el uso directo de los esquemas CUSUM, EWMA y Shewhart.

Wardell et ál. [12] comparan el rendimiento de las cartas tradicionales de Shewhart y las cartas EWMA en presencia de datos correlacionados, en contraste con las cartas diseñadas por Alwan y Roberts [1]. De igual forma, exploran la posibilidad de poner límites en la carta CCC para predecir anomalías de calidad. Los resultados de esta investigación muestran que la carta EWMA es eficiente para detectar cambios en la media de procesos cuando existe correlación en los datos, mientras que la carta de Shewhart rara vez detecta dichos cambios más rápidamente que las otras. También concluyen que las cartas SCC y CCC son preferibles en los casos en que los cambios en la media del proceso superan dos desviaciones estándares.

Estos mismo autores [7] determinaron el ARL de las cartas de causas especiales propuestas por Alwan y Roberts [1] para datos correlacionados, con esto concluyeron que las cartas de causas especiales tienen valores de ARL pequeños cuando la correlación es negativa y las cartas basadas en residuales no tienen buen desempeño ante la existencia de mucha correlación en el primer rezago. Así mismo, la carta EWMA resultó ser muy buena para detectar cambios pequeños, adicionalmente, resulta útil en la detección de cambios grandes cuando los parámetros autorregresivos son negativos y el parámetro del promedio móvil positivo.

Reynolds y Lu [13] evaluaron y compararon varios tipos de cartas EWMA basadas en observaciones originales y residuales de los datos ajustados a partir de series de tiempo. Su conclusión fue que niveles moderados de autocorrelación pueden conllevar efectos adversos en el desempeño de las cartas. Harris [11] y Reynolds [13] afirman que las cartas tradicionales de Shewhart no deben ser aplicadas sin modificación cuando se estudia un proceso afectado por correlación en los datos. También concluyen que el uso de residuales generados por el ajuste de un modelo de series de tiempos no es necesariamente mejor que la implementación de cartas basadas en el uso de las observaciones originales con ajustes en los límites de control, a menos que el nivel de correlación sea elevado. Kramer y Schmid [14] estudian, con resultados similares, la aplicación de las cartas Shewhart a los residuos de un proceso representado a través de series de tiempo autorregresivas de primer orden denotado AR(1), en la que la variable de salida depende linealmente de sus propios valores anteriores.

Zhang [15] midió la capacidad de detención de cambiosen las cartas basadas en residuales para procesos estacionarios y estableció la relación entre capacidad de detección y la longitud promedio de corrida. Tras el análisis de un proceso autoregresivo, el autor concluye que cuando ocurre un cambio en la media del proceso, los residuos no tienen siempre la misma media, aunque se haya modelado perfectamente el proceso. Asimismo, la investigación dio como resultado que la capacidad de detección de la cartas basadas en residuales es menor para cambios pequeños en la media comparada con las cartas tradicionales como EWMA y CUSUM para observaciones modeladas con una serie de tiempo autorregresiva de segundo orden AR (2).

Yang y Makis [16] estudiaron el desempeño de las cartas de control Shewhart, CUSUM y EWMA aplicadas a los residuales de un proceso AR(1) comparando su ARL. Para esto derivaron las ecuaciones integrales necesarias para su cálculo. Los resultados de la investigación indicaron que la carta Shewhart es la de peor desempeño, excepto frente a grandes cambios, y que la carta CUSUM tiene mejor desempeño que la carta EWMA solo cuando el cambio registrado es pequeño.

Reynolds y Lu [17] consideraron el problema de monitorear un proceso cuya media se ajusta a una serie de tiempo AR(1) más un error aleatorio. Para el control estadístico se utilizó una carta EWMA para los residuales, y el pronóstico se realizó utilizando el método de la ecuación integral. La carta propuesta fue comparada con la carta EWMA para observaciones originales, concluyendo que cuando el nivel de autocorrelación es alto y los cambios largos, la carta EWMA para residuales es más rápida que aquella basada

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