Estadistica

TERCER SEMESTRE DE LICENCIATURA EN INFORMÁTICA.

CENTRO UNIVERSITARIO DE LOS ALTOS.

CAPITULO I.

DESCRIPCION DE UN CONJUNTO DE DATOS.

CONCEPTOS.

• ESTADÍSTICA: Es una disciplina de las matemáticas cuyo objetivo es analizar la información obtenida a fin de poder obtener un resultado mediante el método de análisis para la toma de decisiones.

• ESTADÍSTICAS: Son los resultados de los eventos que deberán ser sujetos a un análisis estadístico.

• POBLACIÓN: Es un conjunto entero de datos. Las poblaciones pueden ser de tipo finito o infinito.

Ejemplo:

Finito: Número de alumnos de un grupo.

Infinito: Los números.

• TOMA DE DATOS: Es un conjunto o una colección de datos que no han sido ordenados numéricamente.

Ejemplo:

Un edificio tiene 15 apartamentos con el siguiente número de inquilinos:

2,1,3,5,2,2,2,1,4,2,6,2,4,3,1

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS.

Estas pueden utilizarse cuando el número de datos es mayor que 30. Para ellos se recomienda utilizar el siguiente procedimiento:

• Se calcula el rango, el cual es igual al dato mayor menos el dato menor.

Rango = Dato mayor - Dato menor.

• Se obtiene en forma aproximada el número de clases, el cual se divide el rango entre un valor arbitrario.

Número de clases = ___Rango_____

X = valor arbitrario.

• Se ordenan las clases y se calculan las frecuencias absolutas y frecuencias relativas.

MARCAS DE CLASE.

Estas se obtienen sumando el limite real inferior mas el limite real superior y el resultado se divide entre 2.

LIMITES REALES SUPERIORES E INFERIORES.

Estos se obtienen sumando 0.5 a los limites superiores y restando 0.5 a los limites inferiores.

LONGITUD TAMAÑO O ANCHURA DE CLASE (c).

Este se obtiene restando el limite real superior menos el limite real inferior para cada clase.

Ejemplo 1.

Supongamos que las temperaturas en grados Fahrenheit medidas a las 6 de la tarde durante un periodo de 35 días son las siguientes:

“DATOS AGRUPADOS.”

72 78 86 93 106 107 98

82 81 77 87 82 91 95

92 83 76 78 73 81 86

92 93 84 107 99 94 86

81 77 73 76 80 88 91

Hacer una distribución de frecuencias.

• Rango= 107 - 72 = 35

• Número de clases = Rango = 35 = 7 clases aproximadamente.

X=5 5

“DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.”

Clases Frecuencia

Absoluta Frecuencia

Relativa Marca de

Clase Limite Real

Inferior Limite Real

Superior Frecuencia

Acumulada Frecuencia

Relativa

Acumulada

1 72-76 5 14.28% 74 71.5 76.5 5 14.28

2 77-81 8 22.85% 79 76.5 81.5 13 37.13

3 82-86 7 20% 84 81.5 86.5 20 57.13

4 87-91 4 11.42% 89 86.5 91.5 24 68.55

5 92-96 6 17.14% 94 91.5 96.5 30 85.69

6 97-101 2 5.71% 99 96.5 101.5 32 91.4

7 102-106 1 2.85% 104 101.5 106.5 33 94.25

8 107-111 2 5.71% 109 106.5 111.5 35 99.96

35 99.6%

HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS.

Es una representación gráfica mediante rectángulos cuyas bases corresponden a la longitud de la clase y las alturas a las frecuencias absolutas.

HISTOGRAMAS: Se grafican en el eje horizontal las marcas de clase y en el eje vertical las frecuencias absolutas.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS: Es una representación gráfica que se obtiene en los puntos medios de los techos de los rectángulos, se unen con líneas rectas.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS.

Es una representación gráfica que se obtiene mediante las marcas de clase y las frecuencias relativas.

DIAGRAMA DE PARETO.

Es una representación gráfica en base a rectángulos, con la característica de la mayor frecuencia absoluta hasta la menor.

FRECUENCIAS ACUMULADAS.

Estas se obtienen para cada una de las clases sumando la frecuencia absoluta de la clase actual mas la frecuencia o frecuencias absolutas anteriores. La gráfica se llama OJIVA y esta se obtiene con los límites reales superiores y las frecuencias acumuladas.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

Entre las medidas de tendencia central más comunes son:

• Media Aritmética ( x ).

• Moda.

• Mediana.

Las medidas de tendencia central son las que representan a un conjunto de datos.

• MEDIA ARITMÉTICA: Es aquella que se define como el promedio de un conjunto de datos.

La media Aritmética se obtiene tanto para datos agrupados como los no agrupados.

• DATOS NO AGRUPADOS:

Donde:

X = Datos.

N = Número total de datos.

Ejemplo:

66, 100, 98, 96, 58, 94, 90

= 66, 100, 98, 96, 58, 94, 90 = 602 = 86.

7 7

• DATOS AGRUPADOS:

Donde:

X = Número de datos

N = Número total de datos.

f = Frecuencias absolutas.

Ejemplo:

• MODA: Es la medida de tendencia central que se define como el valor que se presenta con mayor frecuencia, es decir el más común.

La moda para datos no agrupados presenta los siguientes casos:

Caso 1:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 7, 8, 9. Moda = 4.

Caso 2:

2, 5, 5, 6, 6, 7, 9, 16. Moda = 6, 5.

Caso 3:

2, 4, 5, 6, 7, 8, 11. No existe Moda.

La moda para datos agrupados presenta la siguiente formula:

Donde:

L1 = Es el limite inferior de la clase que contiene la moda.

1 = Es la diferencia de la frecuencia modal menos la frecuencia de

la clase contigua inferior.

2 = Es la diferencia de la frecuencia de la clase menos la

frecuencia de la clase contigua superior.

C = Es el tamaño, longitud o anchura de clase.

Ejemplo:

1 = 8 - 5 = 3 1 = 8 - 7 = 1

3

Moda = 76.5 + 5 = 76.5 + 3 (5) = 76.5 + 3.75 = 80.25

3 + 1

Moda = 80.25.

• MEDIANA: Es la medida que se define como el valor que divide a un conjunto de datos en dos partes iguales.

La moda presenta los siguientes casos:

Caso 1: (Conjunto impar).

2, 3, 4, 5, 7 , 7, 8, 9, 13

Mediana

Mediana = 7

Caso 2: (Conjunto par ).

1, 3, 3, 6, 7, 8, 9, 15

6 + 7 = 13 = 6.5

2

Mediana = 6.5

Para calcular la mediana para datos agrupados se aplica la siguiente fórmula:

Mediana = L + N _ f C

2

fm

Donde:

L = Es el límite real inferior de la clase que contiene la mediana.

N = Es el número total de datos en el conjunto.

f =Es la suma de las frecuencias acumuladas inferiores sin

contar la frecuencia de la clase que contiene la mediana.

C = Es el tamaño, longitud o anchura de la clase.

*NOTA: La clase que contiene la mediana se obtiene contando las frecuencias absolutas, de arriba hacia abajo y viceversa localizándola donde nos de la mitad de N.

Ejemplo:

35 - 13

Mediana = 81.5 + 2 5 = 81.5 + (17.5 - 13 ) =

7 7

Mediana = 81.5 + 3.21 = 84.71

RELACION EMPÍRICA ENTRE MEDIA ARITMÉTICA, MODA Y MEDIANA.

86.57 - 80.25 " 3 (86.57 - 84.71)

6.32 " 5.58

MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

DISPERSIÓN: Es el grado en que los datos numéricos tienden a extenderse alrededor de un valor medio.

3 X 85

• Entre las medidas mas importantes de dispersión se tienen AMPLITUD DE VARIACIÓN (RANGO).

• DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA (D.M): Es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones con respecto a la media aritmética.

Para calcular las desviación media para los datos no agrupados se utiliza la siguiente fórmula:

N

Donde:

X = Datos

= Media Aritmética.

| | = Valor absoluto.

N = Número Total de Datos.

Ejemplo:

D.M = |66-86| + |100-86| + |98-86| + 96-86| + |58-86| + |94-86| + |90-86|

7

D.M = |20| + |14| + |12| + |10| + |28| + |8| + |14| =13.71

7

Para calcular la desviación media para datos agrupados se utiliza la siguiente fórmula:

Donde:

X = Marcas de clase.

f = Frecuencias Absolutas.

= Media Aritmética.

N = Número total de datos en el conjunto.

Ejemplo:

D.M = 5|74-86.57|+8|79-86.57|+7|84-86.57|+4|89-86.57|+

6|94-86.57|+2|99-86.57|+1|104-86.57|+2|109-86.57| =

35

D.M =|62.85|+|60.56|+|17.99|+|9.72|+|44.58|+|24.86|+|17.43|+|44.86|=

35

D.M = 282.85 = 8.08

35

• DESVIACIÓN TIPICA O ESTÁNDAR: Se define como la raíz cuadrada de la varianza.

Para calcular las desviación típica para los datos no agrupados mayores de 30 se utiliza la siguiente fórmula:

Para menores de 30:

Ejemplo:

Para calcular la desviación típica o estándar para datos agrupados se utiliza la siguiente fórmula:

Donde:

f1 = Frecuencia Absoluta.

Ejemplo:

= 9.66

• VARIANZA: Se define como la desviación típica o estándar elevada al cuadrado; su símbolo es 2.

Ejemplo:

2 = (9.66)2 = 93.31

• REGLA EMPÍRICA PARA UNA, DOS Y TRES DESVIACIONES TIPICAS:

• Para una desviación típica el porcentaje es del 68.27%

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