Momentos de Inercia para Áreas

.1 Momentos de Inercia para Áreas

Momento de Inercia

• Consideremos el área A en el plano x-y

• Por definición, el momento de inercia del elemento de

área dA respecto a los ejes x, y resulta

dI x =y 2 dA dI y =x2 dA

• Para el área completa, los

momentos de inercia son

I x=∫ y2 dA

I y=∫x2 dA

10.1 Momentos de Inercia para Áreas

Momento de Inercia

• También podemos tomar el segundo momento de dA respecto al “polo” O o eje z

• Esto se conoce como el momento polar de inercia

dJ O =r 2 dA

siendo r la distancia perpendicular desde el polo (eje

z) al elemento dA

• El momento polar de inercia para todo el área resulta

JO=∫r2 dA=I x +I y

10.2 Teorema del eje paralelo para un área

• Conocido el momento de inercia de un área respecto a un eje que pasa por su centroide, determine el momento de inercia respecto a un eje peralelo.

• Consideamos el momento de inercia del área

• Un elemento diferencial dA se localiza a una distancia arbitraria y’

respecto al eje x’ del centroide

10.2 Teorema del eje paralelo para un área

• La distancia fija entre el eje x paralelo a x’ es dy

• El momento de inercia de dA respecto al eje x

dI x =( y'+d y )2 dA

• Para el área completa

I x=∫( y'+d y )2 dA

∫ y'2 dA +2d y ∫ y'dA +d2y ∫dA

• La primera integral representa el momento de inercia del área respecto al eje centroidal

10.3 Radio de Giro de un Área

• El radio de giro de un área plama tiene unidades de longitud y es una cantidad que se usa para diseñar columnas

• Se define como

√ I x k y=√I y k z=√J O A A A

• Estas expresiones son a la expresión del momento de iniercia de un elemento de área respecto a un eje

I x =k 2x A dI x =y2 dA

Ejemplo

Determine el momento de inercia para el área rectangular respecto a: (a) el eje x centroidal, (b) el eje xb que pasa a

través de la base del rectángulo, y (c) el polo o eje z’ perpendicular al plano x’-y’ plane y que pasa por el centroide C.

Solución

Parte (a)

Elemento diferencial, distancia y’ desde el eje x’. Como dA = b dy’,

̄Ix=∫ y' 2 dA=∫ y' 2 (bdy' )=∫ y' 2 dy=121 bh3

Parte (b)

Aplicando el teorema del eje paralelo,

2

Ix b =̄Ix +Ad2 =121 bh3 +bh(h2 ) =31 bh3

Solución

Parte (c)

Para el momento polar de inercia respecto al punto C,

̄I y'=112 hb3

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