MOMENTOS DE INERCÍA

Momento de inercia.

El momento de inercia o inercia rotacional (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Aunque para muchos casos, el momento de inercia puede ser representado como una magnitud escalar, una representación más avanzada por medio de tensores es necesaria para el análisis de sistemas más complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Ecuaciones del momento de inercia

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Se resuelve a través de una integral triple.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:

donde:

▪ es el momento aplicado al cuerpo.

▪ es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

▪ es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

2.Radio de giro :

En ingeniería estructural, el radio de giro describe la forma en la cual el área transversal o una distribución de masa se distribuye alrededor de su eje centroidal. Concretamente es el valor medio cuadrático de distancia de los puntos de la sección o la distribución de masa respecto a un eje que pasa por el centro de la misma.

Radio de giro de área

El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual a la raíz cuadrada del cociente del segundo momento de área dividido por el área:

Donde ig es el radio de giro, Ieje es el segundo momento de área o momento de inercia de la sección y A es el área de la sección transversal. Es una medida del alejamiento promedio de la sección resistente del centro de gravedad, dadas dos secciones de la misma área la de mayor radio de giro presentará mayor rigidez torsional y también un mejor comportamiento frente a pandeo.

El radio de giro para diversas secciones transversales es:

sección cuadrada de lado :

▪ sección circular de radio :

Radio de giro de masa

El radio de giro de una masa es similar excepto que se usara el momento de inercia de la masa. El valor numérico es dado por la siguiente fórmula:

Donde dg es el radio de giro, I es el momento de inercia y m es la masa del objeto.

3.Momento polar de inercia

Esta es una medida importante para los problemas relacionados con ejes cilíndricos, polares y problemas de torsión de una sección. Está definido como:

J =∫r2dA⇒J =I +I O Oxy

Es el momento respecto de un "polo". Es decir el momento en un sistema de coordenadas polar. Se usa bastante en figuras con simetría. Depende mucho de la figura de la que quieras calcularlo.

El momento polar no es lo mismo que el momento de inercia. Un momento de inercia puede ser respecto un punto, recta, plano. El polar es un momento de inercia particular.

4.PRODUCTO DE INERCIA

Otra integral de aparición frecuente en análisis ingenieriles es la integral de la forma:

Ixy =∫xydA

x

dA

y

Ésta integral es considerada como el producto de inercia del área A respecto a los ejes coordenados XY. Contrario a lo que sucede con el momento de Inercia puede ser positiva, negativa ó cero.

Cuando uno ó ambos de los ejes (x ∧ y) es un eje de simetría el producto de

inercia será nulo.

5, Teorema de los ejes Paralelos.

Consideremos el momento de inercia I de una área A con respecto a un eje AA' (figura 9.9). representando con y la distancia desde un elemento de área dA hasta AA', escribimos

Dibujemos ahora un eje BB' paralelo a AA' que pase por el centroide

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