Optimización de los costos de produccion en un tanque de almacenamiento

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OPTIMIZACIÓN DE LOS COSTOS DE PRODUCCION EN UN TANQUE DE ALMACENAMIENTO

LADY ESTEFANÍA MANRIQUE FOCAZZIO 2191813

NATHALIA CAROLINA GÓMEZ SANGUINO -2191228

ESNEYDITH PATRICIAPATRICIA JAIMES BENÍTEZ - 2182055 

PRESENTADO A

CARLOS WILSON RODRIGUEZ CARDENAS

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

CALCULO III

GRUPO H1

BUCARAMANGA

SEPTIEMBRE DE 2020

JUSTIFICACIÓN

Una aplicación a la ingeniería industrial son los multiplicadores de LaGrange, que permiten conocer la cantidad de materiales utilizados para la elaboración de un tanque de almacenamiento, esto debido a que los multiplicadores de LaGrange permiten optimizar y obtener la cantidad máxima aplicando variables que puedan dar resultados desconocidos, de esta forma el cálculo aporta un sistema donde múltiples variables pueden cambiar con un producto o muchos productos.  

Debido a que en la industria se presenta una cantidad significativa de producción de materia prima, se tiene la necesidad de conocer las dimensiones de los materiales utilizados para la elaboración de los tanques de almacenamiento. Este proyecto busca determinar por medio de multiplicadores de LaGrange como obtener la cantidad mínima de materiales de un tanque, lo cual permitirá darles mejor optimización a dichos materiales aplicando un sistema de múltiples variables.

OBJETIVO GENERAL

• Mostrar una aplicación del cálculo multivariable para optimizar los materiales y costos de un tanque de almacenamiento

OBJETIVOS ESPECIFICOS

• Calcular las dimensiones que debe tener un tanque de almacenamiento haciendo uso de los multiplicadores de LaGrange.
• Determinar la optimización de los materiales de un tanque de almacenamiento aplicando un sistema de múltiples variables.
• Cuantificar el costo mínimo de los materiales empleados para la construcción de un tanque de almacenamiento.
• Conocer las dimensiones que tiene un tanque de almacenamiento para para que los costos sean mínimos mediante la aplicación del cálculo III.

MARCO TEÓRICO  

El objeto de estudio de este proyecto está relacionado e inmerso en el área de optimización. El estudio de la optimización en el campo de la ingeniería industrial es de gran relevancia ya que permite al ingeniero que se desenvuelve en el campo de la producción o investigación de operaciones, optimizar la materia prima, optimizar los procesos de producción, mejorar la eficacia de los procesos industriales, de forma que se generen mayores utilidades en las empresas mediante la optimización, gestión y explotación del potencial de la industria, esto con el fin de lograr satisfacer la demanda y consumo de bienes y servicios, reducir los costos en producción, utilizar de forma adecuada y eficiente las materias primas, generar mayores ganancias, entre otros.  

Para ello se pueden utilizar los multiplicadores de Lagrange, ya que este método permite maximizar o minimizar funciones de varias variables que estén sujetas a restricciones. Utilizando el método de Lagrange se puede reducir la restricción de n variables a una de n+1 variables donde las ecuaciones pueden resolverse pues no hay restricciones, esto permite que la solución de estas ecuaciones se haga menos compleja.  

El método de Lagrange (también conocido como multiplicadores de Lagrange) lo propuso Joseph Louis Lagrange (1736-1813), un físico, matemático y astrónomo nacido en Italia.  

        •         El método:

Sea 𝑓(𝑥) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional

{𝑥 ∈ 𝑅𝑛}. Se definen s restricciones 𝑔𝑘 (𝑥) = 0, 𝑘 = 1, … , 𝑠; y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

𝑠

ℎ(𝑥, 𝜆) = 𝑓 + ∑ 𝜆𝑘𝑔𝑘 

𝑘=1 Se procede a buscar un extremo para h:

𝜕ℎ

[pic 2] = 0, 

𝜕𝑥𝑖

Lo que es equivalente a:

𝑠

        𝜕𝑓        𝜕𝑔𝑘

𝜕[pic 3]𝑥𝑖 = − ∑ 𝜆𝑘 [pic 4]𝜕𝑥𝑖 

𝑘

Los multiplicadores desconocidos 𝜆𝑘 se determinan a partir de las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (𝑖. 𝑒. 𝑔𝑘 = 0), lo que implica que 𝑓 ha sido optimizada (Colaboradores de wikipedia, 2020).

La demostración de este método implica derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero (Colaboradores de wikipedia, 2020).

INTRODUCCIÓN  

El presente trabajo de investigación tiene como base el tema de optimización de materiales para la construcción de un tanque de almacenamiento, el cual tiene como función almacenar productos, materias primas, entre otros elementos, buscando con esto, obtener las dimensiones adecuadas para el diseño del tanque de forma que se pueda construir al menor costo posible, y conocer cuál es dicho costo mínimo.  

La característica principal de este tipo de tanques es que son de grandes dimensiones, por lo que el material utilizado para su realización es de igual forma de grandes dimensiones. Para analizar este problema es necesario analizar la forma del tanque, la cual puede ser cilíndrica o cuadrada. En este caso se utilizará un tanque de forma cilíndrica. Se entiende que un cilindro es una figura tridimensional que se obtiene cuando un segmento, conocido como generatriz, gira alrededor de otro segmento que se encuentra fijo y se conoce con el nombre de eje.  

La obtención de las dimensiones para la construcción de un tanque de almacenamiento, se pueden obtener mediante los multiplicadores de LaGrange, los cuales ayudan a minimizar las dimensiones que debe tener el tanque, para que de esta forma la cantidad de material usado tenga el menor costo posible.

La investigación de este problema se realizó por el interés de conocer la forma adecuada para reducir la cantidad de dinero invertido en la construcción de recipientes, en este caso cilíndricos, que se utilizan para el almacenamiento de materias primas en las diferentes industrias. Por otra parte, se busca profundizar la investigación haciendo uso de las herramientas suministradas por el cálculo multivariable, como la optimización, mediante el uso del método de multiplicadores de LaGrange.  

El marco teórico del proyecto se realizó en base a una serie de consultas en diferentes libros y páginas web que suministran información correspondiente al tema de investigación.  

Durante la investigación realizada uno de los impedimentos fue la gran dispersión de información, y la forma adecuada de consolidarla y aplicarla de forma completamente entendible para realizar el proyecto.  

CONTENIDO

Se quiere construir un tanque para almacenar cobre. El tanque tiene forma de cilindro circular recto, el cual tiene una capacidad de 75000 L. Para construir este tanque se emplearon los siguientes costos en materiales: la base tiene un costo de 2.000/m2, la tapa tiene un costo de 800/m2 y la superficie lateral del tanque tiene un costo de 4.000/m2.  

¿Qué dimensiones debería tener el tanque para que el costo generado por los materiales a utilizar sea el menor costo posible? y así mismo, ¿Cuál es el valor del costo mínimo?

         Modelo del Tanque de Almacenamiento:

[pic 5]

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA PLANTEADO: 

ILUSTRACIÓN DEL TANQUE DE ALMACENAMIENTO DEL PROBLEMA

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Teniendo en cuenta que para resolver este problema se utiliza el método de Lagrange, debemos definir inicialmente cuál es la función objetiva del problema y cuál es la restricción a la cual debe acogerse.  

Si analizamos el planteamiento del problema se puede deducir que la función objetiva es el costo de los materiales y la restricción a la cual se acoge es el volumen fijo del tanque:

 (75.000 Litros =75 𝑚3)

La ecuación de Lagrange es:  

L = (2000πr²) + 800π(r² + 4000(2πra) + λ(π(r²)a − 75) 

L = 2800πr² + 8000πra + λ(π(r²)a − 75)  

Después de tener la ecuación de Lagrange calculamos las derivadas parciales y con ayuda de las derivadas parciales buscamos el o los puntos críticos.

L = 2800πr² + 8000πra + λ(π(r²)a − 75) 

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