Orden exponencial

DESARROLLO WEBQUEST N° 02

T1.

a. Describe que es una función de orden exponencial, dar dos ejemplos y graficar.

Función de orden exponencial

Decimos que la función es de orden exponencial si existen si existen números y tales que

Intuitivamente esto significa que la función f(t) esta por debajo de una función exponencial, como se muestra en la figura 1.1

Observación: algunas veces, para verificar que una función es de orden exponencial, conviene calcular el siguiente límite:

Para algún valor de k. Si L es finito, entonces M puede ser cualquier número mayor que L (y este determina T). Por otro lado, si L=∞, f no es de orden exponencial.

Ejemplo 1:

Compruebe que la función f(t)=ebt es de orden exponencial para cualquier valor de b.

Solución:

Calculando el límite siempre y cuando k > b. De donde, ebt< ekt para t grande.

Observación:

No es difícil comprobar que cualquier polinomio de grado n o función trigonométrica como Sen(bt), Cos(bt), con b constante, son de orden exponencial, así como, las sumas y productos de un número finito de estas funciones. En general, si f(t) y g(t) son de orden exponencial la suma f(t)+g(t) y el producto f(t)*g(t) son de orden exponencial.

Ejemplo 2:

Compruebe que la función f(t)=et2 no es de orden exponencial.

Solución:

Calculando el límite tenemos que para cualquier valor de k, con lo cual la función f(t)=et2 no es de orden exponencial.

b. Describe que es la función delta de Dirac, analice su comportamiento con ejemplo real.

Función Delta de Dirac:

La función delta de Dirac o función d, es una función generalizada en la recta numérica real que es cero en todas partes excepto en cero, con un integrante de uno sobre toda la recta real. La función delta es a veces considerado como un ser infinitamente alto pico, infinitamente fina en el origen, con una superficie total bajo el pico, y representa físicamente a un punto de masa idealizada o carga puntual. Dirac habló explícitamente de infinitamente grandes valores de su integrando. En el contexto de procesamiento de señales que se conoce como el símbolo de impulso unitario menudo.

Desde un punto de vista puramente matemático, el delta de Dirac no es estrictamente una función, ya que cualquier función ampliada-real que es igual a cero en todas partes, pero un solo punto debe tener cero integral total. La función delta sólo tiene sentido como un objeto matemático cuando aparece dentro de una integral.

La delta de Dirac es una función generalizada que viene definida por la siguiente fórmula integral:

La delta de Dirac no es una función estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito; de ahí la "definición convencional" dada por la también convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos:

Es frecuente que en física la delta de Dirac se use como una distribución de probabilidad idealizada; técnicamente, de hecho, es una distribución (en el sentido de Schwartz).

En términos del análisis dimensional, esta definición de implica que posee dimensiones recíprocas a dx.

Aplicación:

En los sistemas mecánicos, circuitos eléctricos, doblamiento de vigas y otras aplicaciones aparecen funciones con un valor muy grande durante un intervalo de tiempo muy corto. Por ejemplo, el golpe de un martillo ejerce una fuerza grande durante un intervalo relativamente corto, y un gran peso concentrado en un punto de una viga

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