Principales políticas macroeconomicas

Conceptos matemáticos

Antes de entrar en detalle en la ampliación de los conceptos económicos, haremos algunas consideraciones matemáticas que nos serán de utilidad.

Las funciones matemáticas

Una función matemática f definida del conjunto de los números reales (R) al conjunto de los reales (R), (f: R ® R), es una aplicación tal que a cada número real x le asigna un único número real f(x) (también denotado por y).

Una función nos permite saber qué valor tomará la variable dependiente (y) según los valores que tome la variable independiente (x).

El dominio de una función es el conjunto de posibles valores que puede tomar la variable x. Dos tipos de limitaciones determinan qué valores pueden pertenecer al dominio de una función:

• Tipo económico: por ejemplo, si x son las cantidades que se tienen que producir de un bien, éstas no pueden ser negativas.

• Tipo matemático: por ejemplo, en una función que tiene por expresión un cociente no es posible de coger un valor de x que anule el denominador, ya que, en ese caso, la función no está definida.

Para cada punto del dominio x asignamos un valor y. El recorrido es el conjunto de valores que toma la variable y.

Una función lineal es una expresión del tipo y = f(x) = a + bx, donde b es la pendiente de la función y a es la ordenada al origen.

La pendiente mide la variación en el valor de f(x) cuando x varía en una unidad; en el caso de la función lineal, la pendiente es constante para cualquier valor de x.

La ordenada al origen nos indica el valor de la función cuando x es 0 (punto de corte con el eje de las y).

La raíz de la ecuación (punto de corte con el eje de las x) nos dice qué valor de x hace que la función (y) valga 0. La representación gráfica de una función de este tipo es una recta.

La forma implícita de la ecuación de la recta es px + qy = c. Si aislamos el valor de y, tendremos la función en su forma explícita:

y = (c - px )/q = c/q - (p/q)x.

Como veremos más adelante, la pendiente de una función es un concepto muy importante en Economía.

La función derivada

La función derivada f'(x) de una función y = f(x) es aquella función tal que para cada valor de x nos da el valor de la derivada de f, f’, en ese punto. Coloquialmente, hablaremos de la derivada de f(x) para referirnos a la función derivada. También notaremos la función derivada como y' o dy/dx.

La función derivada nos da información sobre el crecimiento y decrecimiento de una función. Si suponemos que para una función f siempre podemos calcular el valor de la derivada en cualquier punto, podemos establecer las relaciones siguientes:

• Si en un intervalo [a, b], el valor de la derivada f(x) para cualquier valor x de este intervalo es positivo, tendremos que la función f es creciente en este intervalo.

• Si en un intervalo [a, b], el valor de la derivada f'(x) para cualquier valor x de este intervalo es negativo, tendremos que la función f es decreciente en este intervalo.

La función derivada f(x) es una función como cualquier otra. Por lo tanto, podemos calcular la derivada de f(x) en un punto x = a, también nombrada derivada segunda de f en x = a. Su interpretación nos indicará cómo varía el valor de la primera derivada cuando varía el valor de x.

La función derivada segunda f''(x) será aquella función tal que para cada valor de x nos da el valor de la derivada segunda de f en el punto x. También utilizaremos la notación y'' o d2y/dx2.

Si una función f es derivable en un punto x = a (podemos calcular su derivada), entonces, podemos aproximar el valor de la función f(x) a través

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