Análisis Matemático
Enviado por chorlan • 27 de Abril de 2014 • Exámen • 480 Palabras (2 Páginas) • 196 Visitas
Análisis Matemático
Integrales: Teorema de Fubini. Cálculo de áreas. Centro de masas.
INTEGRALES DOBLES
F: A ⊂ ℜ² → R S ⊂ A
∫∫ d F (x, y) dx dy
Interpretación geométrica en R3: Volumen debajo del grafico de F
Teorema de Fubini:
∫∫ 5 F (x, y) dx dy = [ F (x, y) dy ] dx = [ F (x, y) dx ] dy (Caso de limites bien definidos)
dy dx = dx dy
Propiedades:
1) Dadas F y G continuas en A ⊂ ℜ², y dada α y β∈ R:
∫∫ A (α F + β G) (x, y) dx dy = α ∫∫ A F (x, y) dx dy + β ∫∫ AG (x, y) dx dy
2) Dadas F y G continuas en A ⊂ ℜ² tales que F (x, y)≥ G (x, y),∀ (x, y) ∈ A:
∫∫ A F (x, y) dx dy ≥ ∫∫ A G (x, y) dx dy
Calculo de áreas: Area (A) = ∫∫ A dx dy
Ejemplo: Calcular el área de A ⊂ ℜ², limitada por las curvas y = e x, y = e -x, y = e ²
Area = ( dy) dx + ( dy) dx Obs: Donde se lee e2 es e ², e-x es e-x, y ex es ex.
Calculo de masas: Masa = ∫∫ A δ (x, y) dx dy donde δ (x, y) es la densidad superficial
Centro de masa:
X cm = (∫∫ A x δ (x, y) dx dy)/M Y cm = (∫∫ A y δ (x, y) dx dy)/M
Teorema: ∫∫ A F (x, y) dx dy = ∫∫ A+F (G (u, v)).|det D G| du dv obs: det DG ≠ 0 para formar un área.
INTEGRALES DOBLES
CAMBIO DE COORDENADAS EN LAS INTEGRALES DOBLES
De coordenadas cartesianas a polares:
Conviene cuando el dominio es circular para lograr límites de integración constantes.
1. Cambio de dominio: D→ D´
2. Cambio de función: f(x,y)→ f(r.cos θ,r.sen θ)
3. Cambio de elemento de área: dx.dy = r.d θ.dr
∫∫D f(x, y)dx.dy =∫∫D´ f(r.cos θ,r.sen θ)r.d θ.dr
Cálculo del área de un dominio:
De coordenadas cartesianas a curvilíneas:
Conviene
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