Análisis Matematico

1) Se tiene la función definida por z = f(x, y) en su dominio D, se pide definir la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario U=(a, b), fundamentando y apoyándose en el gráfico correspondiente, luego demuestre que dicha derivada puede expresarse como:

Duf(x, y) = afx(x, y) + bfy(x, y) (4p)

Dicha tg θ = (1)

Por construcción sabemos que PQ // U: PQ = hU luego //PQ// = /h/ //U// = /h/ = h

Como PQ = Q - P = (x-xo, y-yo):

Luego: x = xo+ ha e y = yo+hb

Por tanto zo = f(xo+ ha, yo+hb)

Reemplazando en (1): tg θ =

Luego la Derivada Direccional en P en la dirección del vector unitario U, sed define como:

Duf(xo, yo) =

Deducción de Duf(x, y) = afx(x, y) + bfy(x, y) (4p)

Definimos la función g(h) = f(xo+ ha, yo+hb), demodo que:

g´(0) = = Duf(xo, yo)

Calculamos g´(0), teniendo en cuenta que g(h) se puede expresar como:

G(h) = f( x, y) en donde x = xo + ha e y = yo + hb:

Por tanto: g´(h) =

Como se quiere g´(0), haciendo h = 0: x = xo e y = yo

Luego g´(0) =

Comparando: Duf(xo, yo) = lqqd.

2) Sea la función f(x, y, z) = e x+y+z y C la curva intersección de las superficies 2x+y+z = 2; 2x2 + y – z = 0. Se pide determinar la derivada de la función en el punto (0, 0, 0) y en la dirección del vector Normal Unitario a C en el punto P=(0, 1, 1). (4p)

Si

3) Sea P=(2, 1, 7) un punto que pertenece a la superficie S dada por z = x2 + xy + y2 , y L la recta tangente a S en P de mayor pendiente. Se pide: (4p)

a) La ecuación del plano M que contiene a L y es paralelo al vector normal a S en P.

Sabemos que todas las tangentes a S en P se encuentran en el plano

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