Método de Eliminación Gauss-Seidel

Reporte-Practica: Método de Gauss-Seidel

Hernández Sánchez Eduardo Mauricio, Barajas Ruano Oscar Abraham

Instituto Tecnológico de León, México

eduardojunio82003@gmail.com

oscarbarajasleones@hotmail.com

Abstract: El siguiente documento es un reporte de practica sobre el método de Eliminación Gauss-Seidel, los cuales tienen como función resolver sistemas de ecuaciones lineales, a partir de una matriz diagonalmente dominante. El método se desarrolló en dos lenguajes de programación diferentes, Excel y C++.

I. Introducción

Durante las últimas clases, hemos estado trabajando con el método de "Gauss-Seidel". Este método implica la conversión de una matriz inicial en una matriz diagonalmente dominante, a partir de la cual se pueden obtener las ecuaciones para las variables X, Y y Z. Estas ecuaciones se utilizan para calcular los valores de las variables, ya que el método se basa en la idea de utilizar los resultados de cada iteración para mejorar las soluciones en la siguiente. En lugar de calcular todas las soluciones simultáneamente, el método de Gauss-Seidel utiliza los valores más actualizados en cada iteración para mejorar la precisión de las soluciones. Para demostrar la efectividad del método, se utilizó una matriz de ejemplo. Se implementó el método en los lenguajes de programación C++ y Excel.

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Fig. 1. Matriz Ejemplo

II. Desarrollo de contenido

Primero lo que debemos realizar es la matriz diagonalmente dominante, para ello debemos realizar el siguiente proceso para obtener el valor de cada elemente de la diagonal principal.

Para este primer proceso, debemos posicionarnos en el valor de la diagonal principal y comparar este valor con a los valores de la fila y columna en la que se encuentra (partiendo del punto hacia la derecha y hacia abajo respectivamente). Esto se hace con el propósito de identificar cual es el número mayor, de pendiendo de donde se ubique el ese número se realizará un cambio de fila o columna, para que el valor de la diagonal principal sea el mayor tanto en su fila como columna. Este proceso se realizará con cada valor de la diagonal principal hasta obtener una matriz diagonalmente dominante.

En C++, Se realizo primero un código para identificar el número mayor, para ello se colocó el valor de la diagonal en la variable “m”, para después comparar el valor con los valores de la fila y columna, dependiendo si valor de m es menor que otro valor, m cambiara por el valor mayor.

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Fig. 2. Código C++, para obtener el número mayor de fila y columna

Una obtenemos m, se realizará una comparación para checar en donde está ubicado este valor, si en una fila o una columna, dependiendo de donde se ubique se realizará un cambio de fila o columna.  

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Fig. 3. Código C++, de cambio de fila o columna

En este mismo proceso se hará también para los siguientes valores de la diagonal principal.

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Fig. 4. Matriz Diagonalmente Dominante en C++

 En Excel, ya que no existe como tal una manera de realizar un código de ciclo, se optó por utilizar unas cuantas celdas para comparar los números tanto de fila como de celda (por esa razón existen los numero de la derecha), además en cada celda de la matriz se le coloco un código para que coloque los numero dependiendo de cuál sea el valor ubicado en el diagonal principal, para así crear el efecto de cambio de final y columna.

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Fig. 5. Excel, Tablas de valor mayor y cambio de fila y columna

Este proceso se realizar con los demás valores de la diagonal principal hasta obtener la matriz diagonalmente dominante.

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Fig. 6. Matriz Diagonalmente Dominante en Excel.

Una vez obtenida la matriz diagonalmente dominante, se deben despejar X, Y y Z, obteniendo una ecuación de cada una de ellas.

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Fig. 7. Ecuaciones correspondientes a X, Y, Z

Una vez hecho esto, se sustituirán los valores por los valores iniciales (en nuestro caso decidimos que para los tres el valor inicial seria cero). Unas hecha la sustitución obtendremos los nuevos valores de X, Y, Z. Con estos valores deberemos obtener el valor del error que es la división del absoluto del valor actual de X menos el valor anterior de X, esto entre el absoluto de X actual. Todo este proceso se realizará hasta obtener un valor de error menor a 0.001.

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