Mejoramiento

ESFUERZOS EN VIGAS

Existe una relación entre el momento flexionante y los esfuerzos normales generados por este. Así como la fuerza cortante vertical y los esfuerzos cortantes en las vigas.

Hipótesis:[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

        [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

[pic 40][pic 41]

1. Las secciones planas de las vigas inicialmente planas permanecerán así.
2. El material es homogéneo y cumple con la ley de Hooke.
3. Es igual el módulo de elasticidad a tensión y a compresión.
4. La viga es inicialmente recta y d sección constante.
5. Las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de la viga.

Plano neutro: Los esfuerzos y deformaciones son igual a cero.[pic 42]

-Deformacion de la viga.

Momento de inercia de la seccion:

[pic 43]

• Como se obtiene el momento de inercia de una sección rectangular, eje que pasa por su centroide.

[pic 44][pic 45]

[pic 46][pic 47][pic 48]

Consideremos la deformación de una viga cualquiera “gh”, situada a una distancia “y” del plano neutro.

“hk” es el alargamiento de esta fibra y está dada por:

[pic 49]

Su deformación unitaria es: [pic 50]

Si “p” es el radio de curvatura del plano neutro, la longitud “ef” queda definida como:

[pic 51]

Por lo que:

[pic 52]

Como se supone que el material es homogéneo y cumple con la ley Hooke:

Ϯ=E ϵ;    σ = (E/p) y

En esta expresión se observa que el esfuerzo en cualquier fibra debido a la flexión es directamente proporcional a su distancia al plano neutro. Tomando en cuenta las condiciones de equilibrio:

ΣFx=0;      σxdA=0[pic 53]

En donde σx equivale al esfuerzo anterior, si se sustituye por su valor calculado se obtiene que:

E/P    ydA=0[pic 54][pic 55][pic 56]

[pic 57][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 58]

[pic 66][pic 67][pic 68]

[pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73]

[pic 74][pic 75]

[pic 76]

  [pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 81][pic 87]

Como “ydA”, es el llamado momento elástico del área diferencial dA, con respecto al eje neutro, la integración de ydA, es el momento estático total de área.[pic 92]

Para esta expresión, el único valor que puede ser nulo es ȳ lo cual nos demuestra que el plano neutro pasa por el centroide de la sección transversal.

Para: ΣFy=0

V=Vr, donde Vr es la suma de todas las fuerzas cortantes Tx y Da.

Esto es:[pic 93]

Vr =   ƮxydA

Para: ΣFz=0

ƮxydA=0 para la condición estudiada no existen fuerzas externas en la componente z.

Para la condición:

ΣMy=0, las fuerzas externas no producen momento con respecto al eje “y”, ni tampoco las fuerzas cortantes interiores, por lo tanto:

ΣMy=0;      z (σxdA)=0[pic 94]

Como  σx=Ey/P

E/P=  zydA[pic 95]

La integral de zydA, se conoce como producto de inercia “Pzy”, que será nulo solo si “y” o “z” son ejes de simetría o ejes principales de la sección.

La última condición de equilibrio  ΣMz=0 requiere que el momento flexionante, sea equilibrado por el momento resistente, es decir;

M=Mr

Mr =   y (σxdA)[pic 96]

Sustituyendo  σx por su valor Ey/P

La integral de y2 Da, es conocida como “momento de inercia (I) del área con respecto al eje de referencia que en este caso es el eje neutro (eje y), que pasa por el centro de gravedad. Finalmente se obtiene que:

M=EI/P;     Que también se puede escribir como:

1/P=M/EI;       O también;

E/P=M/I=σ/Y

Esta expresión llamada formula de la flexión o formula de la escuadría.

Si en σ=My/I, sustituimos a “y” por “c”, en dónde:

“c” es la distancia del eje neutro al elemento más alejado sometido a tensión se tiene que:

σmax=Mc/I

El cociente I/c, llamado “módulo de resistencia de la sección” o simplemente módulo de la sección y se designa por S.

Por lo que se tiene:

σmax=M/ (I/c)

σmax=M/S

CENTROIDES

En el plano neutro los esfuerzos valen cero.[pic 97]

[pic 98][pic 99]

[pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104]

Ejemplo:

Encontrar ȳ de la siguiente figura:[pic 105]

                          A1=8in       ȳ1=7.5in[pic 106][pic 107]

                                     A2=6in       ȳ2 =4in

                  A3=4in        ȳ3=0.5in[pic 108][pic 109]

[pic 110]

[pic 111]

ȳ=(8x7.5)+(6x4)+(4x0.5)/(8+6+4)

ȳ=4.77in

Encontrar ȳ de la siguiente figura:

        [pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116][pic 117]

          A1=18in       ȳ1=5in[pic 118]

        A2=18in       ȳ2 =1in

ȳ=(18x5)+(18)/(36)

ȳ=3in

Encontrar ȳ de la siguiente figura:

[pic 119][pic 120]

        [pic 121][pic 122][pic 123]

                                 A1=2304  ȳ=72[pic 124][pic 125][pic 126][pic 127][pic 128][pic 129]

                         A2=216    ȳ=30[pic 130]

                     A3=576    ȳ=6[pic 131]

                     A4=216    ȳ=30[pic 132][pic 133][pic 134][pic 135]

ȳ=(2304)(72)+(216)(30)+(576)(6)+(216)(30)/(3312)

ȳ=55.043mm

MOMENTOS DE INERCIA CENTROIDALES[pic 136][pic 137]

        Giro de una área sobre un eje centroidal horizontal.[pic 138][pic 139][pic 140][pic 141]

                                               [pic 142][pic 143]

Teorema de ejes paralelos

IT=Σ (I+Adȳ2)

[pic 144][pic 145]

           ȳ=4.33in        [pic 146][pic 147][pic 148][pic 149][pic 150]

                                I1=8(1)3/(12)=2/3

                               I2=1(6)3/(12)=18

                                 I3=4(1)3/(12)=1/3

IT=(2/3+8(2.73)2)+(18+6(0.77)2)+(1/3+4(4.27)2)

IT=155.1122in4

[pic 151][pic 152][pic 153][pic 154]

ȳ=3in

[pic 155]

        [pic 156][pic 157]

IT=(54+18(2)2)+(6+18(2)2)

IT=204in4

Ejemplo:

La viga mostrada en la figura tiene la sección trasversal mostrada en la figura determine los esfuerzos máximos a flexión por tensión y comprensión en la viga.[pic 158]

[pic 159][pic 160]

...