Act6 Matematicas Discreta

Resolver los siguientes puntos:

1. Justifiquen debidamente la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

a) {{1}, {2}}  N; N es el conjunto de números naturales

b) {0}  N, N conjunto de números naturales

c) El único conjunto que es subconjunto de todos los conjuntos es el vacío.

d) 0 {{}}

SOLUCIÓN

Falso ya que el conjunto de los números naturales son los números que nos sirven para contar a partir del 1, 2, 3…..

El {1} y el {2} son elementos del conjunto de partes pero no son elementos del conjunto de los números naturales.

Falso {0} no pertenece a N, ya que los números naturales comienzan a partir del número 1 en adelante, este puede pertenecer a un conjunto de partes de otro conjunto.

Verdadero, el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto incluyendo al conjunto de partes de un conjunto. Por no tener elementos.

Falso ya que el cero es un elemento y como elemento no puede pertenecer a un conjunto vacío, si perteneciera, el conjunto no sería un conjunto vacío, sería un conjunto con un elemento que sería el 0

2. Dados dos conjuntos A y B, definimos su diferencia simétrica así:

A Δ B = (A  B) – (B  A)

Muestre que

(A∩B) ∪(A∩B^c)=A

Por distributiva tenemos que:

(A∩B) ∪(A∩B^c )=A∪(B∩B^c )

¿Qué tienen en común B y lo que no es B?:

A∪(∅)=A

Finalmente:

A=A

Gráficamente:

A∩B

A∩B^c

(A∩B)∪(A∩B^c)

Muestre que la operación diferencia simétrica es conmutativa y asociativa.

Conmutativa:

(A∆B)=(A∪B)-(B∩A)

Debe ser igual a:

(B∆A)=(B∪A)-(A∩B)

Se tiene que:

∀AB(A∪B)=(B∪A)

∀AB(A∩B)=(B∩A)

Por lo tanto: (A∆B)=(B∆A)

Asociativa:

Tenemos que demostrar: (A∆B)∆C=A∆(B∆C)

Primero definimos la diferencia simétrica así:

(A∆B)∆C=[((A-B)∪(B-A))-C]∪[C-((A-B)∪(B-A))]

Por una parte tenemos:

[((A-B)∪(B-A))-C]=[((A-B)∪(B-A))∩C^c ]

Por distributiva:

((A-B)∩C^c )∪((B-A)∩C^c )=(A-B-C)∪(B-A-C)

Por la otra parte tenemos:

[C-((A-B)∪(B-A))]=[C∩((A-B)∪(B-A) ) ̅ ]

Por ley de Morgan:

[C∩(((A-B) ) ̅∩((B-A) ) ̅ )]=[C∩(((A∩B ̅ ) ) ̅ ∩((B∩A ̅ ) ) ̅ )]

Por ley de involución y de Morgan:

[C∩((A ̅∪B)∩(B ̅∪A)]

Por distributiva:

[(C∩A ̅ )∪(C∩B)]∩(B ̅∪A)=[(C∩A ̅ )∩(B ̅∪A)]∪[(C∩B)∩(B ̅∪A)]

[C∩(A ̅∩(B ̅∪A))]∪[C∩(B∩(B ̅∪A))]

[C∩((A ̅∩B ̅ )∪(A ̅∩A))]∪[C∩((B∩B ̅ )∪(B∩A))]

Sabemos que la intercepción entre un conjunto y su complemento es vacio así que:

[C∩((A ̅∩B ̅ )∪(∅))]∪[C∩((∅)∪(B∩A))]

[C∩((A ̅∩B ̅ ))]∪[C∩((B∩A))]=[C∩A ̅∩B ̅ ]∪[C∩B∩A]

[C-A-B]∪[C∩B∩A]

Finalmente queda:

[(A-B-C)∪(B-A-C)]∪([C-A-B]∪[C∩B∩A])

Para demostrar la asociatividad debemos llegar al mismo resultado con:

A∆(B∆C)=[((A-B)∪(B-A))-C]∪[C-((A-B)∪(B-A))]

Por una parte tenemos:

[A-((B-C)∪(C-B))]=[A∩((B-C)∪(C-B) ) ̅ ]

Por ley de Morgan:

[A∩(((B-C) ) ̅∩((C-B) ) ̅ )]=[A∩(((B∩C ̅ ) ) ̅ ∩((C∩B ̅ ) ) ̅ )]

Por ley de involución y de Morgan:

[A∩((B ̅∪C)∩(C ̅∪B)]

Por distributiva:

[(A∩B ̅ )∪(A∩C)]∩(C ̅∪B)=[(A∩B)∩(C ̅∪B)]∪[(A∩C)∩(C ̅∪B)]

[A∩(B ̅∩(C ̅∪B))]∪[A∩(C∩(C ̅∪B))]

[A∩((B ̅∩C ̅ )∪(B ̅∩B))]∪[A∩((C∩C ̅ )∪(C∩B))]

Sabemos que la intercepción entre un conjunto y su complemento es vacio, así que:

[A∩((B∩C ̅ )∪(∅))]∪[A∩((∅)∪(C∩B))]

[A∩((B ̅∩C ̅ ))]∪[A∩((C∩B))]=[A∩B ̅∩C ̅ ]∪[A∩C∩B]

...