EJERCICIOS RESUELTOS
Enviado por ady1229 • 23 de Enero de 2014 • Tareas • 1.235 Palabras (5 Páginas) • 295 Visitas
6.5 EJERCICIOS RESUELTOS DE LA UNIDAD Nro 6
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6.5.3. Ejercicios resueltos sobre la hipérbola
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1. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5, 0), V1(4, 0) y
V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.
SOLUCIÓN
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Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: .
fig. 6.5.13.
En este caso: a = 4; c = 5, de donde (Ver fig. 6.5.13.) En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es: .
Ahora,
Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: , y,
2. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por: . Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.
SOLUCIÓN
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La ecuación: , puede escribirse en las formas equivalentes:
La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y
(fig. 6.5.14.)
fig. 6.5.14.
En este caso: . Luego, .
Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).
Además de la ecuación: , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas son las rectas de ecuación: e .
..
3. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas.
SOLUCIÓN
Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10, se sigue que c = 5 y por lo tanto b2 = c2 – a2 = 9. Asi que b = 3 (fig. 6.5.15.).
fig. 6.5.15.
Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma:
Las coordenadas de los focos son: y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F’(-3, 3).
Igualmente, las coordenadas de los vértices son: y y = 3. Esto es, V1(6, 3) y V2(-2, 3).
Además, de la ecuación: , se deduce que: ; y
son las ecuaciones de las asíntotas.
4. Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas.
SOLUCIÓN
La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:
Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2 (fig. 6.5.16.)
fig.
...