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Cuadratura de Gauss

El método de cuadratura de Gauss es un excelente método numérico para evaluar integrales definidas de funciones, por medio de sumatorias simples y fáciles de implementar. Por otra parte, es una aplicación bastante interesante de los polinomios ortogonales. En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una integral definida de una función. Una cuadratura de Gauss n-puntos llamada así debido a Carl Friedrich Gauss, es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de una polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y los coeficientes wi para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1] dada por:

Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es conocido.

Fórmula para calcular

Lista de coeficientes de y puntos para n=1,....,5

Número de puntos, n Puntos, xi Pesos, wi

1 =0 =2

2 =1 =1

3 =-0.7745966 =0 =0.7745966 =0.55555 =0.88888 =0.55555

4 =-0.861136311 =-0.33998104 =0.33998104 =0.861136311 =0.3478548451 =0.6521451549 =0.6521451549 =0.3478548451

5 =-0.90617984 =-0.53846931 =0 =0.53846931 =0.90617984 =0.23692688509 =0.4786286705 =0.56888888 =0.4786286705 =0.23692688509

Cambio de intervalos

Los cambios de intervalos van de [−1, 1] después de aplicar la cuadratura de Gauss:

Después de aplicar la cuadratura la aproximación es:

Ejemplo

Aproxime la integral de 1 a 5 cuando n = 2 mediante el método de cuadratura de Gauss y después compárelo con el resultado exacto.

Con podemos resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de grado igual o menor a 3 para f(x)

Fórmulas de Newton–Cotes

En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuanto más intervalo se divida la función más precisa será el resultado. Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes.

Descripción

Para la integración numérica de utilizando las fórmulas de Newton-Cotes se subdivide el intervalo en intervalos iguales. Así se obtienen puntos donde se evaluará la función:

Si y se denominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Para el cálculo se utilizará la siguiente función:

Donde los "pesos" wi están definidos por

Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

Estas son algunas de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

La notación es una abreviatura de , con , y el grado.

Regla de Boole

La regla de Boole utiliza cinco puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de cuarto grado.

Y el error es:

Regla de Quinto orden

La regla de quinto orden utiliza seis puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función

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