Considere el siguiente modelo de programación

Considere el siguiente modelo de programación no lineal sin restricciones. Aplique 2 iteraciones del método del gradiente a partir del punto inicial X0=(1,1).

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

Luego de realizar la segunda iteración se verifica que se cumplen las condiciones necesarias de primer orden (d1=(0,0)). Adicionalmente se puede comprobar que la función objetivo resulta ser convexa y en consecuencia las condiciones de primer orden resultan ser suficientes para afirmar que la coordenada (X1,X2)=(-2,1) es el óptimo o mínimo global del problema.

Otro-

[pic 4]

        Es importante observar lo siguiente: El punto de partida para comenzar las iteraciones es arbitrario y al ser evaluado en la función objetivo se alcanza un valor de V(8,7)=-149.

Si evaluamos la coordenada que se alcanza al realizar una iteración del método la función objetivo obtiene el siguiente valor V(12,5)=-169 que como se puede apreciar reduce el valor de la función objetivo.

En resumen el Método del Gradiente consta de 2 pasos principales:

Primero: El cálculo de una dirección de descenso que esta dado por el negativo del gradiente de la función objetivo evaluado en el punto de partida o en el de la k-ésima iteración. En el ejemplo dicha dirección desde la coordenada original x°=(8,7) esta dada en la dirección del vector d°=(8,-4).

Segundo: Obtener la magnitud del paso α (alfa) que determina cuánto se avanza en una determinada dirección de descenso. Esto se logra generando una función unidimensional en términos de este parámetro (respecto a la función objetivo original). En el ejemplo dicha magnitud del paso es α=1/2.

Finalmente se actualiza la coordenada según lo descrito previamente alcanzando (x1,x2)=(12,5) que como se corroboró otorga un valor en la función objetivo menor al punto de partida (arbitrario).

¿Cómo determinar si se ha alcanzado la solución óptima del problema no restringido a través del Método del Gradiente?

Para ello se debe verificar que la dirección de descenso en la k-ésimaiteración es nula (cero).

Se puede corroborar en este ejemplo que esto se logra al intentar realizar una nueva iteración a partir de (x1,x2)=(12,5).

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