Deformaciones y tensiones en las vigas

En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal.

El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico.

Contenido

1 Teoría de vigas de Euler-Bernoulli

1.1 Deformaciones y tensiones en las vigas

1.2 Esfuerzos internos en vigas

1.3 Ecuaciones de equilibrio

1.4 Cálculo de tensiones en vigas

2 Materiales utilizados

3 Véase también

4 Enlaces externos

Teoría de vigas de Euler-Bernoulli

Esquema de deformación de una viga que ilustra la diferencia entre la teoría de Timoshenko y la teoría de Euler-Bernoulli: en la primera θi y dw/dxi no tienen necesariamente que coincidir, mientras que en la segunda son iguales.

La teoría de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. Si bien las vigas reales son sólidos deformables, en teoría de vigas se hacen ciertas simplificaciones gracias a las que se pueden calcular aproximadamente las tensiones, desplazamientos y esfuerzos en las vigas como si fueran elementos unidimensionales.

Los inicios de la teoría de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema de coordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baricéntrico de la viga, y los ejes Y y Z coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos básicos de la teoría de vigas para la flexión simple de una viga que flecte en el plano XY son:

Hipótesis de comportamiento elástico. El material de la viga es elástico lineal, con módulo de Young E y coeficiente de Poisson despreciable.

Hipótesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical sólo depende de x: uy(x, y) = w(x).

Hipótesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra sólo sufren desplazamiento vertical y giro: ux(x, 0) = 0.

La tensión perpendicular a la fibra neutra se anula: σyy= 0.

Hipótesis de Bernoulli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de la viga, siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado.

Las hipótesis (1)-(4) juntas definen la teoría de vigas de Timoshenko. La teoría de Euler-Bernouilli es una simplificación de la teoría anterior, al aceptarse la última hipótesis como exacta (cuando en vigas reales es sólo aproximadamente cierta). El conjunto de hipótesis (1)-(5) lleva a la siguiente hipótesis cinemática sobre los desplazamientos:

u_x(x,y) = -y\theta_z(x)= -y\frac{dw}{dx} \qquad u_y(x,y) = w(x)

Deformaciones y tensiones en las vigas

Artículo principal: Pendientes y deformaciones en vigas.

Si se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estos desplazamientos se llega a:

\varepsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x} = -y\frac{d^2 w}{dx^2} \qquad \varepsilon_{yy} = \frac{\partial u_y}{\partial y} = 0 \qquad \varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left ( \frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x} \right ) = {0}

A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke, asumiendo \sigma_{yy}={0},\sigma_{zz}={0}:

\sigma_{xx}=-E y\frac{d^2 w}{dx^2} \qquad \sigma_{xy} = {0}

Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal, o módulo de Young, y G el módulo de elasticidad transversal. Es claro que la teoría de Euler-Bernoulli es incapaz de aproximar la energía de deformacion tangencial, para tal fin debera recurrirse a la teoría de Timoshenko en la cual:

\varepsilon_{xy} = \frac{1}{2}\left (\frac{dw}{dx}-\theta_z \right)

Esfuerzos internos en vigas

a partir de los resultados anteriores y de las ecuaciones de equivalencia pueden obtenerse sencillamente el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante y el momento flector al que está sometida una sección de una viga sometida a flexión simple en la teoría de Euler-Bernouilli:

N_x = \int_\Sigma \sigma_{xx} dydz = 0 \qquad V_y = \int_\Sigma \sigma_{xy} dydz = 2GA \frac{dw}{dx} \qquad M_z = \int_\Sigma y\sigma_{xx} dydz = EI_z\frac{d^2 w}{dx^2}

Donde: A área de la sección transversal, Iz el momento de inercia según el eje respecto al cual se produce la flexión. La última de estas ecuaciones es precisamente la ecuación de la curva elástica, una de las ecuaciones básicas de la teoría de vigas que relaciona los esfuerzos internos con el campo de desplazamientos verticales.

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicación de las ecuaciones de la estática a un tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que intervienen sobre el tramo serían la carga exterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremas que delimitan el tramo. Si el tramo está en equilibrio eso implica que la suma de fuerzas verticales debe ser cero, y además la suma de

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