Derivadas Hallar f’(x)

I. Hallar f’(x), usando la definición de derivada, para:

1. f(x) = 6
2. f(x) = -5x
3. f(x) = - 3x +3
4. f(x) = -3x2 +7

II. Calcular, usando fórmula, la derivada de:

1. f(x) = 2x3 + x2 – x + 5
2. f(x) = (x2 +6)/6
3. f(x) = (x + 2)/(x – 2)
4. f(x) = (3x2 – 1)·(x2 +3x +2)
5. f(x) = 4/x3 
6. f(x) = 3/x3 + 4/x2 
7. f(x) = (x5 – x3 -4)3
8. f(x) = x 1/2
9. f(x) = x -1/2 
10. f(x) = x -1/2/x
11. f(x) = x 2/3 + x 1/2 
12. f(x) = [(x2 + 1)/x2 – 1)]1/3

III.   Regla de la cadena

1. f(x) = sen(x/2)
2. f(x) = cos(5-2x); Ayuda:  cos(x + y) = cosx·cosy - senx·seny
3. f(x) = sen2(3x)
4. x2y – xy2 + y2 = 5
5. 6y2 + 3xy = 16
6. X2·sen(x + y) – 5y·ex = 3; Ayuda (ex)’ = ex; (eu)’ = eu·(du/dx)

IV. Máximos y Mínimos; Puntos de inflexión

1. Hallar el valor mínimo de f(x) = x2 + 250/x; R: x = 5
2. Hallar máximo y mínimo de f(x) = x·(12 – 2x)2 ; R: máximo en x = 2, mínimo en x = 6
3. Hallar máximo y mínimo de f(x) = (x – 2)2/3 ; Ayuda: revisar signo de f’(x) alrededor de x = 2     R: solo mínimo en x = 2
4. Hallar el punto de inflexión de f(x) = 3x + 3/(5·(x + 2)2/5); R: (-2,-6)
5. Hallar el punto de inflexión de f(x) = x4 – 6x +2; R: (0,2)

V. Problemas de máximos y mínimos

1. Divida una cuerda de 150 m de largo de modo que P(x) = (150 – x)·x2 sea máximo; R: x = 100 m
2. Una superficie de papel a utilizarse como Poster tiene un área A = 18 [m2]. El margen superior debe ser 0,75 [m] y el margen lateral debe ser 0,50 [m]. ¿Cuáles son las dimensiones de este papel, si se quiere que el área de impresión sea máxima?   R: Ancho = 2√3; Largo = 3√3[pic 1][pic 2]

1. A las 9 de la mañana el barco B está a 65 millas náuticas al este del barco A. A esa hora, el barco B se desplazaba a 10 [millas náuticas/hora] con rumbo oeste, y el barco A se desplazaba, rumbo al sur, a 15 [millas náuticas/hora]. Si ambos barcos siguen el mismo curso y a la misma velocidad, ¿Cuándo estarán lo más cerca posible uno de otro? R: a las 11 de la mañana a una distancia de 15√13 [millas náuticas].[pic 3]
2. Un contenedor cilíndrico, metálico, con base circular debe contener un volumen de 1000 [cm3]. Hallar sus dimensiones (diámetro y altura) de modo que la superficie total del cilindro sea mínima. Ayuda: Vtotal = π*D2/4*h = 1000 [cm3]; Atotal = π*D*h + π*D2/4

R: D = 20/π1/3 y  h = 10/ π1/3 

1. El costo variable por hora (CV) [$/hora] del combustible necesario para hacer funcionar una cierta máquina agrícola es proporcional al cuadrado de la velocidad; es decir, CV = kv2 [$/hora]. El costo fijo por hora (CF) [$/hora] del mismo combustible es 100 [$/hora]. El costo variable a una velocidad de 40 [km/hora] es $25/hora. Hallar la velocidad en que el costo total por kilómetro (CT/v), en [$/km] es mínimo. Ayuda: CT/v= (CV + CF)/v ; R: 80 [km/h]

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