Derivadas Definidas

Una forma de aplicar integrales definidas en la Administración Turística es deducir un método que nos facilite calcular el área de una región cualquiera, y para esto vamos a aplicar una integral definida.

Para lograr esto, es necesario primero introducir el símbolo o la notación de Sumatoria. Para representar esto, se una la letra griega mayúscula “sigma”, para abreviar la sumatoria, y se usa de este modo:

y sus partes son:

a: representa los términos de la sumatoria

ak: representa el termino k-ésimo de la sumatoria

an: representa el termino n-ésimo y último de la sumatoria

k: es el índice de la sumatoria

1: es el límite inferior de la sumatoria

n: es el límite superior de la sumatoria

Gráfica 1.

Como habíamos mencionado anteriormente, nuestra preocupación ahora, es encontrar el área de cualquier superficie sin importar su forma. Supongamos que queremos hallar el área de la región comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica de la función f(x) (Gráfica 1).

Gráfica 2.

Ahora, supongamos que tomamos la región y la dividimos en una serie de rectángulos de base x (Gráfica 2.). Si lográramos calcular el área de cada uno de esos rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una aproximación del área total de la región que deseamos.

Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión, podríamos hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del intervalo a,b , tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:

de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo así:

Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos, es base por altura. Debido a que este rectángulo puede ser cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que xi puede ser cualquier valor, ya podemos sumar sus áreas para lograr la aproximación:

Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que deseamos. Como ya habíamos visto que xi, representa cada una de las particiones de nuestra región, ahora definamos a P como la partición más grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotas las de la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que P se haga tan pequeño como

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