Ecuaciones diferenciales en movimientos armónicos
Enviado por Henndrix • 7 de Septiembre de 2021 • Informes • 1.468 Palabras (6 Páginas) • 176 Visitas
Movimiento vibratorio:
Vibración denominadas propagación de ondas elásticas produciendo deformaciones y tensiones sobre un medio continuo.
Los movimientos vibratorios son producidos por fuerzas que en todo momento son directamente proporcionales al desplazamiento respecto de la posición de equilibrio de la partícula que vibra. Estas fuerzas siempre van dirigidas hacia la posición de equilibrio estable.
Movimiento vibratorio forzado:
Conocido también como movimiento vibratorio excitado, debido a que actúa una fuerza extraña, originada por el sistema mismo o por efecto de agentes exteriores. Son de especial interés aquellas fuerzas cuya acción es periódica, pues hacen que la frecuencia natural del sistema tienda a ser numéricamente igual a la frecuencia circular Un fenómeno que se presenta es la resonancia; la amplitud en el M.A.S. es constante, la amplitud amortiguada tiende a cero, pero la amplitud en sistema forzado puede crecer incontrolablemente a medida que el tiempo aumenta.
- Movimiento vibratorio simple o movimiento armónico simple.
Un movimiento armónico simple es el que explica una partícula sometida a una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento. Se crea entonces un movimiento periódico, o sea que se repite cada cierto intervalo de tiempo. No todos los movimientos periódicos son armónicos. Para que lo sean, la fuerza restauradora debería ser proporcional al desplazamiento.
[pic 1]
En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación
x=A·sen(ωt+φ)
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil
[pic 2]
Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil
[pic 3]
Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial
[pic 4]
- Ejercicio
Considere una masa de 10 kg que está unida a una pared por medio de un resorte de constante . Si se alarga el resorte una distancia de 0.02 m y se suelta a partir del reposo, determine la posición y la velocidad de la masa en el tiempo[pic 5]
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- Posición [pic 16]
- Velocidad [pic 17]
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- Movimiento vibratorio Forzado
Un movimiento vibratorio forzado es cuando se lleva en marcha un sistema amortiguado y se le va introduciendo energía al sistema, esta energía es producida por una fuerza externa.
En este movimiento vibratorio, actúan otras fuerzas externas que varían con el tiempo. Dichas fuerzas pueden ocurrir, por ejemplo, cuando el soporte que sostiene al resorte se mueve verticalmente de cierta manera dada, tal como en un movimiento periódico o cuando el peso le da un pequeño empuje cada vez que alcanza la posición más baja. Denotemos con f (t) la fuerza exterior que actúa sobre la masa. De la segunda ley de newton, la ecuación diferencial del movimiento es:
Un oscilador armónico amortiguado es aquel que, en adición a la fuerza recuperadora dada por la ley de Hooke, experimenta una fuerza de rozamiento viscoso proporcional a la velocidad.
[pic 19]
Si este oscilador se mueve a lo largo de una recta, la segunda ley de Newton se reduce a
[pic 20]
donde x es la elongación (distancia a la posición de equilibrio dada por la longitud natural).
Si este oscilador amortiguado se encuentra sometido a una fuerza externa adicional, en general dependiente del tiempo, se dice que el oscilador está forzado, siendo su ecuación de movimiento
[pic 21]
De entre los posibles tipos de fuerza que se pueden aplicar, la más importante desde el punto de vista físico, es aquella que en sí misma es oscilante, esto es
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donde la frecuencia de oscilación de la fuerza no tiene por qué coincidir con la frecuencia propia del oscilador armónico
[pic 23]
- El caso de una fuerza constante
El caso más sencillo de un oscilador forzado sería aquél sometido a una fuerza que no depende del tiempo F = (ω = 0). Este sería el caso de un muelle que cuelga verticalmente y del cual se cuelga una masa m, siendo su ecuación de movimiento.[pic 24]
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- Solución estacionaria
La solución en este caso es fácil de imaginar. Si de una balanza colgamos 1kg de plátanos, el muelle se estira y en el estado final se queda en reposo en una posición inferior a la inicial. En este estado equilibrio, al ser constante, las derivadas respecto al tiempo se anulan y nos queda[pic 26]
[pic 27]
y sustituyendo obtenemos la posición de equilibrio
[pic 28]
Este estado estacionario es independiente de las condiciones iniciales. Ni la posición inicial ni la velocidad inicial aparecen en su expresión.
2.2.2 Solución transitoria
En el ejemplo de los plátanos que se cuelgan de la balanza, la experiencia nos muestra que la posición inicial no se alcanza instantáneamente, sino que la balanza oscila unas cuantas veces antes de detenerse. Se dice entonces que tenemos un proceso transitorio que representa el paso desde el estado inicial hasta el final.
Para describir matemáticamente el estado transitorio introducimos como variable la diferencia entre la posición instantánea y la de equilibrio
[pic 29]
Teniendo en cuenta que la solución estacionaria es una de equilibrio
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