Fracciones Perciales

FRACCIONES PARCIALES

Para integrar fracciones racionales las expresamos como suma de fracciones mas sencillas, denominadas fracciones parciales, que ya sabemos integrar. El ejemplo siguiente ilustra el ejemplo más sencillo.

Ejemplo 1

∫▒〖(5x-4)/(2x^2+x-1) dx〗

El denominador se puede factorizar como un producto de factores lineales

(5x-4)/(2x^2+x-1)=(5x-4)/(x+1)(2x-1)

En un caso como este, donde el numerador tiene un grado mas pequeño que el denominador, podemos escribir la función racional dada como una suma de fracciones parciales:

(5x-4)/(2x^2+x-1)=A/(x+1)+B/(2x-1)

Donde A y B son constantes. Para hallar los valores de A y B multiplicamos ambos miembros de esta ecuacion por (x+1)(2x-1), con lo que obtenemos

5x-4=A(2x-1)+B(x+1)

o bien

5x-4=(2A+B)x+(-A+B)

Los coeficientes de x deben ser iguales y los terminos constantes tambien son iguales. De modo que

2A+B=5 y -A+B=-4

Al resolver estas ecuaciones lineales para A y B, obtemeos A=3 y B=-1, por consiguiente

(5x-4)/(2x^2+x-1)=3/(x+1)-1/(2x-1)

Cada una de las fracciones parciales restantes son faciles de integrar( utilizando la sustitución u=x+1 y u=2x-1). De modo que

∫▒〖(5x-4)/(2x^2+x-1) dx〗=∫▒(3/(x+1)-1/(2x-1))dx

∫▒〖(5x-4)/(2x^2+x-1) dx〗=3ln|x+1|-1/2 ln|2x-1|+c

Nota 1. Si el grado del numerador del ejemplo hubiera sido el mismo que el del denominador, o mas alto, hubieramos tenido que dar el paso anterior consistente en efectuar una división larga. Por ejemplo:

(2x^3-11x^2-2x+2)/(2x^2+x-1)=x-6+(5x-4)/(x+1)(2x-1)

Nota 2. Si el denominador tiene mas de dos factores lineales, necesitamos incluir un término correspondiente a cada factor. Por ejemplo

(x+6)/x(x-3)(4x+5) =A/x+B/(x-3)+C/(4x+5)

donde A,B y C son constantes que se determinaron al resolver un sistema de tres ecuaciones en la incógnitas A,B y C

Nota 3. Si se repite un factor lineal, necesitamos incluir terminos adicionales en la expresión de la fracción parcial. Por ejemplo

x/((x+2)^2 (x-1) )=A/(x+2)+B/(x+2)^2 +C/(x-1)

Nota 4. Cuando factorizamos un denominador lo mas lejos posible, puede suceder que obtengamos un factor cuadrático irreducible ax^2+bx+c, donde el descriminante b^2-4ac es negativo. Entonces la fracción parcial correspondiente es de la forma

(Ax+B)/(ax^2+bx+c)

Donde A y B son constantes a determinar, este termino puede integrarse completando el cuadrado y utilizando la formula

∫▒〖dx/(x^2+a^2 )=1/a 〖tan〗^(-1) (x/a) 〗+c

Ejemplo 2

∫▒〖(2x^2-x+4)/(x^3+4x) dx〗

Puesto que x^3+4x=x(x^2+4) no pude factorizarse más, escribimos

(2x^2-x+4)/(x^3+4x)=A/x+(Bx+c)/(x^2+4)

Al multiplicar por x(x^2+4), tenemos

2x^2-x+4=A(x^2+4)+(Bx+c)x

2x^2-x+4=(A+B) x^2+Cx+4A

Al igualar coeficientes obtenemos

A+B=2 C=-1 4A=4

De modo que A=1 ,B=1 y C=1 y por consiguiente

∫▒〖(2x^2-x+4)/(x^3+4x) dx〗=∫▒(1/x+(x-1)/(x^2+4))dx

Luego

∫▒〖(2x^2-x+4)/(x^3+4x) dx〗=∫▒〖1/x dx〗+∫▒〖x/(x^2+4) dx-∫▒1/(x^2+4)〗 dx

∫▒〖(2x^2-x+4)/(x^3+4x) dx〗=ln|x|+1/2 ln(x^2+4)-1/2 〖tg〗^(-1) (x/2)+c

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