Geometria diferencial
Enviado por cristian94cs • 3 de Septiembre de 2015 • Informes • 514 Palabras (3 Páginas) • 156 Visitas
GEOMETRIA DIFERENCIAL
Constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio.
Sea C una una curva en el espacio definida por la función r(u); según hemos visto es un vector en la dirección dela tangente a C.[pic 1]
Considerando al escalar u como la longitud de arco s medida apartir de un punto fijo C dela curva es un vector tangente a C y que llamaremos T como se observa [pic 2]
[pic 3]
[pic 4][pic 5]
[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]
o
La variación de T respecto de s es una medida de la curvatura C y viene dada por . La dirección de es un punto cualquiera a C es la correspondiente a la normal a la curva en dicho punto. El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal ala curva. Así pues, siendo la curvatura de C en el punto dado. El reciproco de la curvatura se llama radio de curvatura[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]
El vector unitario B definido por el producto , perpendicular al plano formado por T y N se denomina binormal ala curva. Los vectores T,N,B forman un triedro trirrectangulo a derechas de cualquier punto de C. este sistema de cordenadas recibe el nombre de triedro intrinsico en el punto. Como a medida que varia s el sistema se desplaza, se le conoce con la denominación de triedro móvil.[pic 15]
Evaluemos ahora y como B es un vector unitario, su derivada es perpendicular a B y, por lo tanto, se halla en el plano de T y N. mas aun de tal manera que al diferenciar obtenemos [pic 16][pic 17][pic 18]
[pic 19]
o .T de aquí que debe ser paralelo a N[pic 20][pic 21][pic 22]
las formulas de frenet-serret que relacionan los vectores T,N,B con sus derivadas son las siguientes
[pic 23]
En donde el escalar se llama torsión. El resiproco de la torsión es el radi de torsión.[pic 24][pic 25]
PLANOS FUNDAMENTALES
El plano que contiene la tangente y la normal principal es llamado el plano osculador. sea s un vector variable a cualquier punto en este planoy r el vectoral punto P sobre la curva s – r se halla en el plano y es consecuentemente perpendicular a la binormal. la ecuación del plano osculador es
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