Geometria

11) Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A (-2, 3) y B (6, -3)

SOLUCION: Se nos pide que hallemos los puntos de trisección y el punto medio de un segmento cuyos extremos son los puntos A (-2, 3) y B (6, -3). El punto de trisección quiere decir, el punto que divide este segmento en tres partes.

Primero procedemos a graficar los puntos A y B para observar el segmento, entonces:

Supongamos que los puntos C y D son los puntos que dividen en tres partes al segmento AB, son estos los puntos que debemos de hallar y lo hacemos de la siguiente manera:

Se calcula la razón entre estos puntos, así tenemos:

r_(1= ) ¯AD/¯DB = 1/2 Λ r_(2 = ) ¯AC/¯CB = 2

Ahora teniendo la razón, se halla cada uno de los puntos coordenados para D y C, utilizando la formula de la división de un segmento en una razón dada.

Así tenemos, para el punto D:

x_(D )= (x_1 + rx_2 )/(1 + r) Λ y_(D )= (y_1 + ry_2 )/(1 + r)

Sustituyendo los valores resulta:

〖 x〗_(D )= (-2 + 1/2.6 )/(1 + 1/2) = (-2 + 3)/(3/2) = 2/3

y_(D )= (3+ 1/2.(-3) )/(1 + 1/2) = (3 - 3/2)/(3/2) = 1

Así, tenemos el punto D ( x_(1 ),y_1), es igual a: D (2/3, 1)

Hagamos lo mismo para el punto C

〖 x〗_(C )= (-2 + 2.(6) )/(1 + 2) = (-2 + 12)/3 = 10/3

y_(C )= (3+ 2.(-3) )/(1 + 2) = (3 - 6)/3 = -1

Entonces, el punto C ( x_(2 ),y_2) es igual a: C (10/3, -1)

Ahora se halla el punto medio del segmento AB por medio de la siguiente expresión matemática:

〖 x〗_ = (x_1 + x_2 )/2 Λ y_ = (y_1 + y_2 )/2

Sustituyendo tenemos:

〖 x〗_ = (-2 + 6 )/( 2) = 4/2 = 2

y_ = (3+ (-3) )/( 2) = 0/2 = 0

Entonces, el punto medio es Pm (2, 0)

16) Los vértices de un triangulo son A (-1,3), B (3,5) y C (7,-1), si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC.

SOLUCION: Primero vamos a graficar en un sistema de coordenadas los puntos dados, entonces:

Se halla el punto medio del segmento AB donde A (-1,3) y B (3,5), mediante la siguiente expresión matemática:

〖 x〗_ = (x_1 + x_2 )/2 Λ y_ = (y_1 + y_2 )/2

Sustituyendo tenemos:

〖 x〗_ = (-1 + 3 )/( 2) = 2/2 = 1

y_ = (3 + 5 )/( 2) = 8/2 = 4

Entonces, el punto medio del segmento AB es el punto D (1,4)

Ahora con el segmento BC, se halla el punto medio donde B (3,5) y C (7,-1), entonces:

〖 x〗_ = (x_1 + x_2 )/2 Λ y_ = (y_1 + y_2 )/2

Sustituyendo tenemos:

〖 x〗_ = (3 + 7 )/( 2) = 10/2 = 5

y_ = (5 + (-1) )/( 2) = 4/2 = 2

Entonces, el punto medio del segmento BC es el punto E (5,2)

Ahora tenemos los puntos D (1,4), E (5,2), A (-1,3) y C (7,-1)

Por medio de la fórmula de la distancia entre dos puntos dados, se hallan las longitudes DE, dicha fórmula es d = √(〖(x_1- x_2)〗^2+〖(y_1- y_2)〗^2 ), entonces:

d_DE = √(〖(1- 5)〗^2+〖(4- 2)〗^2 )

d_DE = √(〖(- 4)〗^2+〖( 2)〗^2 )

d_DE = √(16+4)

d_DE = √20 = 4,47, entonces la distancia del Punto AC, es igual a d_DE= 4,47

Del mismo modo, se halla la longitud del lado AC, entonces:

d_AC = √(〖(-1-

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