Geometria

INTRODUCCION:

En este trabajo se muestra un marco conceptual que puede ayudar a ver los diferentes tipos de Geometría y sus divisiones, también para saber la historia de la Geometría y saber que fueron los griegos los primeros en considerar a la Geometría como una ciencia. También muestra las generalidades y las definiciones de cada concepto que se presenta también muestra ejemplos de aplicación y esqueletos de prismas.

MARCO CONCEPTUAL:

Los primeros conocimientos que tuvo el hombre consistían en un conjunto de reglas prácticas.

Hay varios tipos de geometría:

• Geometría euclidiana: es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional.

• Geometría euclidiana plana: trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano.

• Geometría espacial: es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional.

• Geometría no euclidiana: cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los estrablecidos por Euclides en su tratado de Elementos.

• Geometría de Riemann: estudio de las variedades diferenciales con métricas de Riemann.

• Geometría analítica: estudio de ciertos entes geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático.

• Geometría diferencial: es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático.

• Geometría diferencial de superficies: propone definiciones y métodos para analizar la geometría de superficies o variedades diferenciales de dos dimensiones inmersas en variedades de Riemann.

• Geometría diferencial de variedades: una variedad es el objeto geométrico estándar en matemática; existe en diversas variantes utilizadas según el dominio particular.

• Geometría proyectiva: estudia las propiedades de incidencia de las figuras geométricas, pero abstrayéndose totalmente del concepto de medida.

• Geometría descriptiva: conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional.

HISTORIA DE LA GEOMETRÍA:

Los primeros conocimientos geométricos que tuvo el hombre consistían en un conjunto de reglas prácticas.

En Grecia se ordenan los conocimientos empíricos adquiridos por el hombre a través del tiempo, y, al reemplazar la observación y la experiencia por deducciones racionales, se eleva la Geométrica al plano rigurosamente científico.

En Grecia comienza la Geometría como ciencia deductiva, su gran mérito está en que es a ellos a quienes se debe la transformación de la Geometría en ciencia deductiva.

Los babilonios fueron los inventores de la rueda.La base de la civilización egipcia fue la agricultura.

Tales de Mileto: representa los comienzos de la Geometría como ciencia radical. Fue uno de los “siete sabios” y fundador de la escuela jónica.

Pitágoras de Samos: se dice que fue discípulo de Tales, pero apartándose de la escuela jónica, fundó en Crotona, Italia, la escuela pitagórica.

Euclides: Escribió una de las obras más famosas de todos los tiempos: los “Elementos”, que consta de 13 capítulos llamados “Libros”.

Platón: se inicio en Atenas un movimiento científico a través de la Academia de Platón. Para él, la matemática no tiene finalidad práctica sino simplemente se cultiva con el único fin de conocer.

Arquímedes de Siracusa: estudio en Alejandría. Lo llevo a investigar problemas de orden físico y resolverlos por métodos nuevos.

Apolonio de Perga: estudió ampliamente las secciones cónicas.

Herón de Alejandría: demostró la conocida formula que lleva su nombre, para hallar el área de un triangulo en función de sus lados.

GENERALIDADES

El método deductivo es el usado en la ciencia y, principalmente, en la Geometría. Este método consiste en encadenar conocimientos que suponen verdaderos de manera tal, que se obtienen nuevos conocimientos. Es decir, obtener nuevas proposiciones como consecuencia lógica de otras anteriores.

No todas las propiedades son consecuencia de otras. Hay algunas que se aceptan como ciertas por sí mismas: son los axiomas y postulados.

Una característica de la Geometría moderna consiste en evitar la definición de conceptos primarios que tenían poco o ningún sentido.

AXIOMA: es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración.

Ejemplo: el todo es mayor que cualquiera de sus partes.

POSTULADO: es una proposición no tan evidente como un axioma pero que también se admite sin demostración.

Ejemplo: hay infinitos puntos.

TEOREMA: es una proposición que puede ser demostrada.la demostración consta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.

En el enunciado de todo teorema se distinguen dos partes: la hipótesis, que es lo que se supone, y la tesis que es lo que se quiere demostrar.

Ejemplo: la suma de los ángulos interiores de un triangulo, vale dos rectos.

COROLARIO: es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo.

Ejemplo: del teorema: la suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a dos rectos, se deduce al siguiente corolario: la suma de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo vale un recto.

TEOREMA RECIPROCO todo teorema tiene su reciproco. La hipótesis y la tesis del reciproco son, respectivamente, la tesis y la hipótesis del otro teorema que, en este caso, se llama teorema directo.

Ejemplo: el reciproco del teorema: la suma de los ángulos interiores de un triangulo vale dos rectos dice: si la suma de los ángulos interiores de un polígono vale dos rectos el polígono es un triangulo:

La hipótesis y la tesis del reciproco son:

-Tenemos un polígono cuyos ángulos interiores suman dos rectos.

-El polígono es un triangulo.

No siempre los teoremas recíprocos son verdaderos. Así, por ejemplo, hay un teorema que dice: “las diagonales de un cuadrado son iguales” y su reciproco dice: “Si las diagonales de un paralelogramo son iguales a la figura es un cuadrado”. Este reciproco es falso porque la figura puede ser un rectángulo que también tiene sus diagonales iguales.

LEMA: es una proposición que sirve de base a la demostración de un teorema. Es como un “teorema preliminar” a otro que se considera más importante.

ESCOLIO: es una observación que se hace sobre un teorema previamente demostrado.

PROBLEMA: es una proposición en la que se pide construir una figura que reúna ciertas condiciones, o bien, calcular el valor de alguna magnitud geométrica.

EL PUNTO: el punto no se define. La idea de punto esta sugerida por la huella que deja en el papel un lápiz bien afilado.

X

A B

LA LINEA: son tipos especiales de conjuntos de puntos. Entre los más notables están:

Línea recta: una imagen de este conjunto de puntos es un rayo luminoso, el borde de una regla, etc.

X X

A B

Una recta geométrica se extiende sin límite en dos sentidos. No comienza ni termina.

La línea curva: una imagen de línea curva es la circunferencia. Actualmente se considera que las líneas curvas pueden tener trazos rectos o no tenerlos.

Un tipo especial de curva es la línea quebrada, formada por trazos rectos, otro tipo especial de curva es la curva simple cerrada. Es la que se puede trazar de tal manera que empieza y termina en el mismo punto y este es el único que se toca dos veces. Este tipo de curva tiene un interior y un exterior.

Al unir un punto interior A con un exterior B de una curva simple cerrada se corta dicha curva.

X

B

CUERPOS FISICOS Y CUERPOS GEOMETRICOS: son cuerpos físicos todas las cosas que nos rodean: libros, lápices, mesas, etc. Tienen forma, color, están hechos de una sustancia

E F

determinada y ocupan un lugar en el espacio.

SUPERFICIES: son los límites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea.

Las superficies tienen dos dimensiones largo y ancho.

SEMIRRECTA: si sobre una recta señalamos un punto A, se llama semirrecta al conjunto de puntos formado por él A y todos los que le siguen o todos los que le preceden. Una semirrecta se suele representar por el origen y otro punto de ella, con el símbolo- encima.

X

C D

SEGMENTO: si sobre una recta señalamos dos puntos A y B, se llama segmento al conjunto de puntos comprendidos entre A y B mas estos dos puntos que se llaman extremos del segmento. Generalmente al que se nombre en primer lugar se le llama origen y al otro, extremo.

La distancia más corta entre dos puntos es el segmento que los une.

Un segmento se designa por las letras de sus extremos y con un trazo encima.

X X

E F

PLANO:

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