Matematicas

En este trabajo nos damos cuenta que una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos. En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.El concepto de sucesión en los números reales se entiende de manera intuitiva cuando se asocia a un número natural un número real.Los problemas de secuencias numéricas (llamadas normalmente series, aunque el término no sea muy correcto) son clásicos en las matemáticas recreativas. Se trata normalmente de averiguar cómo continúa una sucesión de números enteros de la que nos dan los primeros términos.

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE URUAPAN

CLAVE: IIND-2004-297

CALCULO INTEGRAL

DOCENTE: ING. Jesús Omar Olvera Venegas.

ENSAYO

UNIDAD 4

SERIES.

Elaborado por:

León Solís Grisarelily Lily. 12040201

Rivera Soto José Alberto. 12040344

INGENIERIA INDUSTRIAL IV Semestre

URUAPAN MICH. 5 de junio del 2014

INTRODUCCION

1.1.- DEFINICIÓN DE SERIES: FINITAS E INFINITAS.

. DEFINICION DE SERIES FINITAS.

Una diferencia es una expresión matemática de la forma f(x + b) – f(x + a). si una diferencial finita se divide por b – a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La próxima de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

Lo anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con ∆f. el teorema de Taylor puede expresarse por la función: ∆= hD +1/2 h^2 D^2+1/3!+h^3 D^3+⋯=e^hD-1

Donde D denita el operador derivada, que hace corresponder f con su derivada f^1, es decir D=u^1,D^2=u^n,D^3=u^m,… formalmente, invertido la exponencial hD= log (1+∆)=∆- 1/2 ∆^2+ 1/3 ∆^3+⋯, esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio, incluso para funciones analíticas, las asintóticas. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada.

Ejemplo:

DEFINICION DE SERIES INFINITAS.

Relacionado con el concepto de sucesión está el concepto de la suma de los términos de la sucesión.

A la suma de los términos de la sucesión {a(n)} se le llama serie infinita, o simplemente serie.

Del mismo modo en que se maneja la idea de la sucesión tenemos también la idea de serie; de tal manera que ambos conceptos están relacionados, como podrás observar en la siguiente definición.

Si {a1} es la sucesión a1, a2, a3,...an,..., entonces a la suma a2 + a3 +...+ an +... Se le llama serie.

Los elementos a1, a2, a3,... se denominan los términos de la serie y una forma simplificada para representarla es:

an = a1+ a2 + a3 + ...an +...

Esta representación conocida como notación tiene las siguientes propiedades:

1. - (xi + yi) = xi + yi

2. - kxi = k xi

3.- k = nk

La primera afirma que la sumatoria de una suma de dos términos es igual a la suma de las sumatorias individuales. La segunda asevera que la constante de una sumatoria puede factorizarse, y la tercera afirma que la sumatoria de una constante es simplemente n veces la etc.

Retomando el concepto de serie, abordaremos la siguiente pregunta ¿Una serie infinita tiene por suma un número?.

Ejemplo. 1.- El número racional = 0.333... Entonces podemos escribir:

= + + + + ... =

Esta sumatoria, por la construcción que realizamos, se espera que sea igual a .

Ahora la serie 10 + 100 + 1000 + 10000 +...= 10n, intuitivamente no tiene por

Suma un número, es decir, la serie no converge. El concepto de convergencia de una serie,

Se define en términos de la convergencia de una sucesión llamada de sumas parciales {Sn} y que describimos a continuación:

S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 … Sn = a1 + a2 + a3 +... + an

Así, si la sucesión de sumas parciales converge, entonces la serie an converge y la suma de la serie (S) la representaremos por:

S = a1 + a2 +... + an +...

Analógicamente si {Sn}, diverge, la serie será divergente.

Analicemos un ejemplo de sumas parciales:

Ejemplo. 2.- Calculemos la sucesión de sumas parciales de:

Solución:

S1= S2 = + S3 = + + … Sn = + + + ... +

Como podrás observar cuando n es muy grande, Sn será una aproximación para , es decir, la suma de la serie es: 1/3.

Lo anterior lo podemos representar de la siguiente manera:

Sn

=

=

...