Matriz De Prueba

3.1.1. Definición de relación

Seguramente ya te encuentras familiarizado con el producto convencional entre dos números normales (escalares), probablemente también sea de tu conocimiento el producto punto o escalar entre dos vectores y el producto vectorial o producto cruz. De la misma manera, puede ser posible que ya hayas comenzado el estudio del producto de matrices. Éste no es más que una generalización del producto escalar, también conocido como producto interno. Existen otros tipos de productos y el producto cartesiano es uno de ellos.

La operación llamada producto cartesiano recibe su nombre del matemático francés René Descartes quién desarrolló la formulación de la Geometría Analítica, introduciendo de esta manera el concepto de par ordenado en las coordenadas cartesianas.

El producto directo de dos conjuntos es lo que se conoce como producto cartesiano en la teoría de conjuntos.

Si se tienen dos colecciones o conjuntos, el producto directo de estos generará un nuevo conjunto formado por los pares ordenados de cada elemento del primer conjunto y un elemento del segundo conjunto. De esta manera si se tienen dos conjuntos con n y m elementos su producto directos generará n m elementos (n, m). Donde se ha escogido el símbolo “ ” para denotar el producto directo.

Da clic en el botón para leer un ejemplo del producto cartesiano.

A continuación se define formalmente el producto:

Definición. Sean los conjuntos , el producto cartesiano n-ario de estos, denotado por , es el conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento se encuentra en el conjunto X1, el segundo en el conjunto X2, y así sucesivamente, de tal forma que: .

Para el ejemplo que se ha dado, con sólo dos elementos se tiene que:

Definición. El producto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X Y, es el conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento se encuentra en el conjunto X y el segundo en el conjunto Y:

A partir de estos conceptos será posible, dar una definición formal de relación.

En el caso del producto cartesiano primero se define una relación entre cualquier número de conjuntos y posteriormente se trata el caso particular de sólo dos conjuntos, como se ejemplificó de manera informal al inicio de la unidad.

Definición. Sean los conjuntos . Una relación n-aria en estos conjuntos es un subconjunto del producto cartesiano n-ario . Los conjuntos son llamados el dominio y n se conoce como el grado de la relación. Simbólicamente:

Si = 0, se llama a esta relación, una relación vacía. Si , será una relación universal, mientras que en el caso particular en que sólo se tengan tres conjuntos será una relación ternaria y para dos conjuntos una relación binaria.

El resto de esta unidad estará dedicado a relaciones binarias, a sus propiedades y a las operaciones que es posible llevar a cabo con ellas.

3.1.2. Relación binaria

El grado dos de una relación es usualmente el más común, ya que cuando se empieza a estudiar el comportamiento de un fenómeno o la influencia de una cantidad con respecto a otra, es conveniente sobresimplificarlo y estudiar la relación que existe entre un par de colecciones o conjuntos, dando origen de esta manera a una relación binaria. En lo sucesivo se referirá a una relación binaria simplemente como una relación, en caso de que el grado de la relación sea diferente de dos se mencionará explícitamente.

Definición. Siendo X y Y los conjuntos. Una relación binaria entre estos, es un subconjunto del producto cartesiano binario .

Simbólicamente:

En el ejemplo anteriormente mencionado sobre las colecciones de frutas y colores, se calculó el producto cartesiano. El conjunto solución tiene seis elementos,

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