PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS

1. En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegirá un representante de grupo, para lo cual se usara el número de lista de cada alumno. Se anotan 12 papeles con números del 1 al 12 respectivamente se doblan y se meten en un frasco. Luego se extrae al azar un papel para designar al representante. Determine la probabilidad de que el numero que salga sea menor que 5; determine la probabilidad de que el numero sea mayor que 3 pero menor que 7.

Solución:

La probabilidad de que Px<5 es:

Px<5=1-Px>5=1-5-∞112dx=1-112 x-∞5= 1-1125+112-∞= 1-512=712

La probabilidad de Px<5 es=712=0.58

P3<x<7

P3<x<7 = 37112dx = 112 x 73 = 1127+1123= 712+312=1012

La probabilidad de P3<x<7 es=1012=0.83

2. Como participante de una encuesta de contaminación del aire, un inspector decide examinar las emisiones de seis de los 24 camiones de una compañía. Si cuatro de los camiones emiten cantidades excesivas de contaminantes cual es la probabilidad de que ninguno de ellos sea parte de la Muestra del inspector

Solución

La variable X es igual a 0

fx=PX=x=hx,N,n,K= kxN-kn-xNn

fx=PX=x=h0,24,6,4= 40206246

fx=h0,24,6,4= 1*38750134596=0.28

La probabilidad de que ninguno de ellos sea parte de la muestra es de 0.28

3. Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra, tomada al azar, de dos calculadoras manuales, de cada lote que llega de 18, y acepta el lote si ambas están en buenas condiciones de trabajo; de otra manera, se inspecciona todo el lote y el costo se carga al vendedor, determine la probabilidad de que un lote se acepta sin inspección adicional, si contiene:

a. Cuatro calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo

b. Ocho calculadoras que no están en buenas condiciones de trabajo

Solución:

a) la variable X es igual 0 para que el lote no sea devuelto.

Donde N= 18, n=2K= 4

fx=PX=x=hx,N,n,K= kxN-kn-xNn

fx=h0,18,2,4= 40142182= 1*91153=91153=0.59

La probabilidad de que se acepte el lote con cuatro calculadoras en malas condiciones es de 0.59

b) la variable X es igual 0 para que el lote no sea devuelto. Donde N= 18, n=2K= 8

fx=PX=x=hx,N,n,K= kxN-kn-xNn

fx=h0,18,2,8= 80102182= 1*45153=45153=0.294

La probabilidad de que se acepte el lote con ocho calculadoras en malas condiciones es de 0.59

4. Una florería tiene 15 vehículos de reparto, que se utilizan principalmente para llevar flores y arreglos florales en una ciudad, suponga que seis de los 15camiones tienen problemas con los frenos. Se seleccionaron cinco vehículos al azar para probarlos, cual es la probabilidad de que dos de los camiones probados tengan frenos defectuosos?

Solución:

La variable X es igual 2 de los camiones probados. Donde N= 15, n=6 y k= 5

fx=PX=x=hx,N,n,K= kxN-kn-xNn

fx=h2,15,6,5= 52104156= 10*2105005=21005005=0.42

La probabilidad de que dos de los camiones probados tengan sus frenos defectuosos es de 0.42

5. En una fábrica de circuitos electrónicos, se afirma que la proporción de unidades defectuosas de cierto componente que esta produce es del 5%. Cuáles la probabilidad de que un comprador al revisar 15 unidades al azar encuentre cuatro defectuosas?

Solución:

La variable X corresponde a 4 unidades defectuosas, donde n=15 unidades y la proporción de unidades defectuosas es de 5% =0.05, para esto utilizaremos una distribución binominal

.

F4;0.05.15 = 154*0.054*1-0.0511

F4;0.05.15= 1365*0.00000625*0.5688

F4;0.05.15 = 0.00485

La probabilidad de que un comprador encuentre 4 unidades defectuosas es de 0.00485

6. Un investigador inyecta un germen patógeno a varios ratones a la vez, hasta que haya 2 que han contraído la enfermedad. Si la probabilidad de contraer el padecimiento es de 1/6. Cuál es la probabilidad de que sean necesarios 8 ratones?

Solución:

La variable X corresponde a 8 ratones, donde r=2 ratones que han contraído la enfermedad y la

P = 1/6 para esto utilizaremos una distribución binomial negativa.

F8;16,2=71*566*162

F8;16,2=7*1562546656*136=1093751679616=0.065

La probabilidad de que sean necesarios ocho ratones es de 0.065

7. Según los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. ¿Cuál es la probabilidad de que de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado?

Solución:

La variable X corresponde a 0, 1, 2 donde n= 6 estudiante seleccionados y P = 5% = 0.05, para esto utilizaremos una distribución binomial

F0;0.05,6= 60*0.050*1-0.056=1*1*0.735=0.735

F1;0.05,6= 61*0.051*1-0.055=6*0.05*0.774=0.2322

F2;0.05,6= 62*0.052*1-0.054=15*0.0025*0.8145=0.0305

P = (X < 3) = 0.735 + 0.2322 + 0.0305 = 0.3362

La probabilidad de que menos de tres alumnos hayan fracasado es de 0.3362

8. Según un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, aproximadamente el 60% de los consumidores del tranquilizante Valium en dicho estado, tomaron el fármaco por problemas psicológicos, Determine la probabilidad de que entre los siguientes 8consumidores entrevistados en este estado, por lo menos 5 hayan comenzado a tomarlo por problemas psicológicos.

Solución

:La variable X corresponde a 0, 1, 2, 3, 4; donde n= 8 consumidores y P= 60%= 0.6, para esto utilizaremos una distribución binomial

F0;0.6,8= 80*0.60*1-0.68=1*1*0.000655=0.000655

F1;0.6,8= 81*0.61*1-0.67=8*0.6*0.00164=0.00787

F2;0.6,8= 82*0.62*1-0.66=28*0.36*0.0041=0.4133

F3;0.6,8= 83*0.63*1-0.65=56*0.216*0.01024=0.1238

F4;0.6,8= 84*0.64*1-0.64=70*0.1296*0.0256=0.2322

P = (X < 3) = 0.000655 + 0.00787 + 0.4133 + 0.1238 + 0.2322 = 0.7778

La probabilidad de que por lo menos cinco hayan comenzado a tomarlos por problemas psicológicos es de 0.7778

9. La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad tenga un perro se estima en 0.3. Determine la probabilidad de que la decima persona entrevistada al azar en dicha ciudad sea la quinta en poseer un perro.

Solución:

La variable X corresponde a 10 persona entrevistadas, donde r=5 y la P = 0.3para esto utilizaremos una distribución binomial negativa

F10;0.3,5=94*0.75*0.35=126*0.1681*0.00243=0.0515

La probabilidad de que la decima persona entrevistada sea la quinta en poseer un perro es de 0.0515

10. Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de ingles en cualquier intento que haga. ¿Cuál es la probabilidad deque lo logre aprobar en el cuarto intento?

Solución:

La variable X corresponde a 4, donde r=1 y la P = 0.75 para esto utilizaremosuna distribución binomial negativa

F4;0.75,1=30*0.253*0.751=1*0.015625*075=0.01172

La probabilidad de que logre aprobar en el cuarto intento es de 0.01172

11. De acuerdo con un reporte de la secretaria de movilidad, en Bogotá se registran en promedio 7,5 peatones atropellados a la semana (7 días).

Determine la probabilidad de que en tres días de una semana cualquiera ocurran entre 6 y 8 casos de personas atropelladas en la ciudad.

Solución:

La variable X corresponde a 6 y 8 casos de personas atropelladas es la ciudad, el promedio es de 7.5 en siete días, por lo tanto en tres días el promedio seria de 3.2, por tanto se utilizara la distribución de poison. Teniendo así: λ = 3.21

P6≤x≤8=e-3.213.2188!+e-3.213.2177!+e-3.213.2166!

P6≤x≤8=0.040*11273.0240320+0.040*3511.845040+0.040*1094.03720

P6≤x≤8=450.9240320+140.4745040+43.76720P6≤x≤8=0.011+0.027+0.061=0.099

La probabilidad de que en tres días de una semana ocurran entre 6y 8 casos de persona atropelladas es de 0.099

12. El número de camiones en promedio que llegan a una central de abastos en cierta ciudad, es de 12 por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera lleguen menos de nueve camiones a esa central de abastos?

Solución:

La variable X corresponde a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 casos de personas atropelladas es la cuidad, el promedio es de 12 por día, con base en esto se utilizara la distribución de poison

Px<9=e-121288!+e-121277!+e-121266!+e-121255!+e-121244!+e-121233!+e-121222!+e-121211!+e-121200!

Px<9=2641.8940320+220.165040+18.35720+1.53120+0.12724+0.0116+0.0008842+0.00007371+0.000006141

Px<9=0.066+0.044+0.0255+0.01275+0.0053+0.00183+0.000442+0.0000737+0.00000614Px<9=0.1559

La probabilidad de que lleguen

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