REGRESION NO LINEAL

REGRESION NO LINEAL POR EL METODO GAUSS-NEWTON

Msc. Ing. José Luis Zamorano Escalante

joseluiszamorano@gmail.com

Carrera Ingeniería Química, Facultad Nacional de Ingeniería

Universidad Técnica de Oruro

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Resumen.

El trabajo muestra las ventajas de aplicar el método desarrollado por Gauss-Newton para el ajuste de modelos NO LINEALES, además del uso de software aplicado, que permite la resolución de problemas estadísticos complejos, como por ejemplo el programa STATGRAPHICS®.

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Qué entendemos por análisis de Regresión?

El ajuste de curvas es una necesidad que se presenta a un investigador, cuando trata de interpretar datos experimentales, en los cuales las respuestas y se miden en función de la variación de valores de las variables x que se consideran independientes y sin error. En los procesos reales siempre existe variabilidad en las respuestas, debido a factores no controlables, la relación entre y y x viene afectado por el error experimental denominado e, es decir:

(1)

Los resultados de las pruebas experimentales, pueden interpretarse mediante un modelo matemático que describa el comportamiento del proceso, modelo que puede ser de naturaleza empírica, ó basados en conceptos fenomenológicos que expliquen teóricamente estas relaciones.

El ajustar un modelo a los datos experimentales, se conoce como análisis de regresión, que es la aplicación de métodos matemáticos y estadísticos para el análisis de datos experimentales, y el “ajuste” de estos modelos matemáticos a estos datos mediante la estimación de sus parámetros desconocidos (1). Desde el punto de vista de análisis de regresión, clasificamos los modelos en Modelos lineales y Modelos no lineales.

Modelo “lineal” se refiere a que los parámetros b del modelo, son lineales, por ejemplo:

(2)

también podemos clasificar como modelo lineal:

(3)

observamos que si bien los términos de x’s no son lineales, sí lo son los de b.

En los modelos no lineales, los parámetros tienen la característica de ser no lineales, como por ejemplo:

(4)

(5)

En muchos casos, los modelos no lineales pueden linealizarse, por ejemplo la ecuación (4), sin embargo eso modifica la distribución de los errores y entonces no tenemos un modelo lineal en el sentido clásico, por lo que se recomienda analizar los datos desde un punto de vista más estricto, es decir mediante una regresión no lineal.

Estimación de los parámetros.

En análisis de regresión, la estimación de los parámetros del modelo significa ajustar una curva (superficie si se tiene más de una variable independiente) a un conjunto de datos, que normalmente son experimentales. Lo que buscamos es determinar los parámetros desconocidos de un modelo para el cual los valores estimados por éste, tengan una distancia mínima con los valores experimentales. Esta distancia definida por el concepto de mínimos cuadrados, es la suma de cuadrados de los residuos:

(6)

donde i es el residuo entre los valores experimentales yi con los valores estimados por el modelo ŷi .

Si aplicamos el método de “Mínimos cuadrados” a un modelo No Lineal, resulta un sistema de ecuaciones no lineales, que no pueden resolverse por los métodos tradicionales.

El método de GAUSS-NEWTON para regresión no lineal

La forma general de un modelo NO LINEAL es

(7)

donde b es el vector de parámetros, X el vector de valores de las variables independientes, y la función f es no lineal con respecto a b.

La suma de cuadrados de los residuos expresada como matriz está dada por:

(8)

Y = Vector de observaciones experimentales de la variable dependiente

Ŷ = Vector de valores calculados de la variable dependiente obtenida por (7)

Siendo que Ŷ es no lineal con respecto a los parámetros, tomando la derivada parcial de Ø con respecto a b e igualando a cero, se produce un sistema de ecuaciones no lineales que podría ser de difícil solución para encontrar los valores de b. El problema fue resuelto por Gauss, quien determinó que el ajuste de funciones no lineales por mínimos cuadrados puede ser llevado a cabo por un método iterativo que involucre una serie de aproximaciones lineales. En cada paso de la iteración, se utiliza la teoría de mínimos cuadrados para obtener la siguiente aproximación.

Este método conocido por el método de Gauss-Newton convierte el problema no lineal en uno lineal por aproximación de la función Ŷ por una serie de Taylor, expandida alrededor de un valor estimado por el vector de parámetros b truncada luego del segundo término.

(9)

La ecuación (9) es lineal en Δb. Por lo tanto, el problema ha sido transformado de determinar b, a buscar la corrección de b, esto es Δb. Este término calculado se utiliza para estimar un nuevo valor de b para minimizar la suma de cuadrados de los residuos.

Reemplazando la ecuación (9) en (8) obtenemos:

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